题目
设随机变量 X sim U(-2,3)，则 P(-1 leq X leq 1)= ( )A. (1)/(3)B. (2)/(5)C. (1)/(2)D. (3)/(4)
设随机变量 $X \sim U(-2,3)$，则 $P(-1 \leq X \leq 1)= (\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
题目解答
答案
B. $\frac{2}{5}$
解析
步骤 1：确定随机变量 $X$ 的概率密度函数
随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(-2, 3)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{b-a}$，其中 $a = -2$，$b = 3$。因此，$f(x) = \frac{1}{5}$，其中 $-2 \le x \le 3$。
步骤 2：计算 $P(-1 \le X \le 1)$
计算 $P(-1 \le X \le 1)$，即计算区间 $[-1, 1]$ 上的概率密度函数的积分： \[ P(-1 \le X \le 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \times [x]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} \times (1 - (-1)) = \frac{2}{5} \]
步骤 3：验证结果
或者使用累积分布函数 $F(x) = \frac{x + 2}{5}$： \[ P(-1 \le X \le 1) = F(1) - F(-1) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \]
随机变量 $X$ 服从均匀分布 $U(-2, 3)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{b-a}$，其中 $a = -2$，$b = 3$。因此，$f(x) = \frac{1}{5}$，其中 $-2 \le x \le 3$。
步骤 2：计算 $P(-1 \le X \le 1)$
计算 $P(-1 \le X \le 1)$，即计算区间 $[-1, 1]$ 上的概率密度函数的积分： \[ P(-1 \le X \le 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{5} \, dx = \frac{1}{5} \times [x]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} \times (1 - (-1)) = \frac{2}{5} \]
步骤 3：验证结果
或者使用累积分布函数 $F(x) = \frac{x + 2}{5}$： \[ P(-1 \le X \le 1) = F(1) - F(-1) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \]