题目
2 分别用梯形公式和 Simpson 公式计算积分：int_(0)^1(x)/(4+x^2)dx，n=8；
2 分别用梯形公式和 Simpson 公式计算积分：$\int_{0}^{1}\frac{x}{4+x^{2}}dx$，$n=8$；
题目解答
答案
**梯形公式：**
将区间 $[0,1]$ 分为8等分，步长 $h = \frac{1}{8}$。
计算 $f(x_k) = \frac{x_k}{4+x_k^2}$（$k=0,1,\ldots,8$），代入公式：
\[ T_8 = \frac{h}{2} \left[ f(0) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.1114024. \]
**辛普森公式：**
使用中点 $x_{k+1/2}$，计算 $f(x_{k+1/2})$，代入公式：
\[ S_8 = \frac{h}{3} \left[ f(0) + 4 \sum_{k=0}^{7} f(x_{k+1/2}) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.111572. \]
**答案：**
梯形公式近似值：$\boxed{0.1114024}$
辛普森公式近似值：$\boxed{0.111572}$
解析
步骤 1：梯形公式计算
将区间 $[0,1]$ 分为8等分，步长 $h = \frac{1}{8}$。计算 $f(x_k) = \frac{x_k}{4+x_k^2}$（$k=0,1,\ldots,8$），代入梯形公式： \[ T_8 = \frac{h}{2} \left[ f(0) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.1114024. \]
步骤 2：辛普森公式计算
使用中点 $x_{k+1/2}$，计算 $f(x_{k+1/2})$，代入辛普森公式： \[ S_8 = \frac{h}{3} \left[ f(0) + 4 \sum_{k=0}^{7} f(x_{k+1/2}) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.111572. \]
将区间 $[0,1]$ 分为8等分，步长 $h = \frac{1}{8}$。计算 $f(x_k) = \frac{x_k}{4+x_k^2}$（$k=0,1,\ldots,8$），代入梯形公式： \[ T_8 = \frac{h}{2} \left[ f(0) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.1114024. \]
步骤 2：辛普森公式计算
使用中点 $x_{k+1/2}$，计算 $f(x_{k+1/2})$，代入辛普森公式： \[ S_8 = \frac{h}{3} \left[ f(0) + 4 \sum_{k=0}^{7} f(x_{k+1/2}) + 2 \sum_{k=1}^{7} f(x_k) + f(1) \right] \approx 0.111572. \]