已知四阶行列式D的第三列元素分别为1,3,-2,2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1，则行列式D的值为( ).A 1B -3C 5D 0

我们已知一个四阶行列式 $ D $，它的第三列的元素分别是：

$a_{13} = 1,\quad a_{23} = 3,\quad a_{33} = -2,\quad a_{43} = 2$

对应的余子式（注意：是余子式，不是代数余子式）分别为：

$M_{13} = 3,\quad M_{23} = -2,\quad M_{33} = 1,\quad M_{43} = 1$

我们要计算行列式 $ D $ 的值。

第一步：回顾行列式按列展开的公式

行列式可以按某一列展开，比如按第 $ j $ 列展开：

$D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}$

其中 $ A_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

注意：题目中给出的是余子式 $ M_{ij} $，不是代数余子式，所以我们需要先乘上符号 $ (-1)^{i+j} $ 得到代数余子式。

我们现在是按第三列（即 $ j = 3 $）展开，所以：

$D = a_{13} A_{13} + a_{23} A_{23} + a_{33} A_{33} + a_{43} A_{43}$

而每个 $ A_{i3} = (-1)^{i+3} M_{i3} $

第二步：逐项计算代数余子式

我们来计算每个代数余子式：

1. $ A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (-1)^4 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 $
2. $ A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 \cdot (-2) = -1 \cdot (-2) = 2 $
3. $ A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = (-1)^6 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1 $
4. $ A_{43} = (-1)^{4+3} M_{43} = (-1)^7 \cdot 1 = -1 \cdot 1 = -1 $

第三步：代入展开式计算 $ D $

$D = a_{13} A_{13} + a_{23} A_{23} + a_{33} A_{33} + a_{43} A_{43}$

代入数值：

$D = (1)(3) + (3)(2) + (-2)(1) + (2)(-1)$

逐项计算：

• $ 1 \cdot 3 = 3 $
• $ 3 \cdot 2 = 6 $
• $ -2 \cdot 1 = -2 $
• $ 2 \cdot (-1) = -2 $

相加：

$3 + 6 - 2 - 2 = 5$

最终答案：

$\boxed{C \quad 5}$

✅ 答案是：C 5