4. (3.0分) 齐次线性方程组}lambda x_(1)+x_(2)+lambda^2x_(3)=0x_(1)+lambda x_(2)+x_(3)=0x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=0的系数矩阵记为A，若存在3阶非零矩阵B，使得AB=O，则( ).A. lambda=-2且|B|=0B. lambda=-2且|B|≠0C. lambda=1且|B|=0D. lambda=1且|B|≠0

本题考查齐次线性方程组系数矩阵的特征值以及矩阵行列式的性质。解题思路是根据已知条件$AB = O$推出$A$的特征值，再结合矩阵行列式的性质判断$\vert B\vert$是否为$0$。

1. 因为存在$3$阶非零矩阵$B$，使得$AB = O$，所以$A$不可逆，即$\vert A\vert = 0$。
2. 计算$\vert A\vert$：
   $\vert A\vert=\begin{vmatrix}\lambda & 1 & \lambda^{2} \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix}$
   根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
   $\vert A\vert=\lambda\begin{vmatrix}\lambda & 1 \\ 1 & \lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & \lambda\end{vmatrix}+\lambda^{2}\begin{vmatrix}1 & \lambda \\ 1 & 1\end{vmatrix}$
   $=\lambda(\lambda^{2}-1)-1(\lambda - 1)+\lambda^{2}(\lambda - 1)$
   $=\lambda^{3}-\lambda - \lambda + 1 + \lambda^{3}-\lambda^{2}$
   $=2\lambda^{3}-\lambda^{2}-2\lambda + 1$
3. 令$\vert A\vert = 0$，即$2\lambda^{3}-\lambda^{2}-2\lambda + 1 = 0$，通过因式分解 可得$(\lambda - 1)(2\lambda^{2}+\lambda - 1) = 0$，进一步因式 x 可得$(\lambda - 1)^{2}(2\lambda + 1) = 0$，解得$\lambda = 1$或$\lambda = -\frac{1}{2}$。
4. 因为$B$是非零矩阵，所以$\vert B\vert\neq 0$。又因为$AB = O$，所以$A$的特征值为$\lambda = 1$，此时$\vert A\vert = 0$，且$\vert B\vert = 0$。