(1)设 f(x)= { ,xlt 0 x+2, xgeqslant 0 . ,limf(x)存在,求a的值。(2017计算机计算1)

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在条件，以及利用等价无穷小替换求极限的方法。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，函数$f(x)$的左右极限必须相等才能保证极限存在。因此，需要分别计算左极限（$x \to 0^-$）和右极限（$x \to 0^+$），再令两者相等求解$a$的值。

破题关键点：

1. 右极限：当$x \geq 0$时，$f(x) = x + 2$，直接代入$x = 0$即可得到右极限为$2$。
2. 左极限：当$x < 0$时，$f(x) = \dfrac{\tan(ax)}{x}$，利用等价无穷小替换$\tan(ax) \sim ax$（当$x \to 0$时），化简后可得左极限为$a$。
3. 等式建立：令左右极限相等，即$a = 2$。

第（1）题

步骤1：计算右极限

当$x \to 0^+$时，$f(x) = x + 2$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 2 = 2.$

步骤2：计算左极限

当$x \to 0^-$时，$f(x) = \dfrac{\tan(ax)}{x}$。利用等价无穷小替换$\tan(ax) \sim ax$（当$x \to 0$时），可得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan(ax)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax}{x} = a.$

步骤3：令左右极限相等

根据题意，极限存在，因此左右极限相等：
$a = 2.$