题目

2.lim_(n to infty)(sqrt(n+1)-sqrt(n))sqrt(n+1)=

2.$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+1}=$

题目解答

答案

将原式有理化：
$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+1} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1 - n)\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
分子分母同除以 $\sqrt{n}$：
$\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，故极限为：
$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$
答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

本题考查数列极限的计算，解题思路是先对原式进行有理化，消除分子中的根式，然后通过分子分母同除以一个适当的式子，将其转化为可以直接计算极限的形式。

  1. 对原式进行有理化：
    已知原式为$(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})\sqrt{n + 1}$，为了消除分子中的根式，我们给分子分母同时乘以$\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$可得：
    $(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})\sqrt{n + 1}=\frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}=\frac{((\sqrt{n + 1})^2 - (\sqrt{n})^2)\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}=\frac{(n + 1 - n)\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$
  2. 分子分母同除以$\sqrt{n}$：
    为了便于计算极限，我们将上式分子分母同时除以$\sqrt{n}$，可得：
    $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}=\frac{\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{\frac{n + 1}{n}}}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}} + 1}=\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$
  3. 计算极限：
    当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，将其代入上式可得：
    $\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}=\frac{\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{1 + 0} + 1}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 1}=\frac{1}{2}$