用初等行变换的方法求非齐次线性方程组 } 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13 4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6 的通解，并用矩阵表达式表示.

将方程组写成增广矩阵并进行初等行变换： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & -5 \\ 3 & 8 & -2 & 13 \\ 4 & -1 & 9 & -6 \end{pmatrix} \] 交换第1、2行，消去第1列： \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \\ 0 & 14 & -14 & 28 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \end{pmatrix} \] 化简得： \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 对应方程组： \[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases} \] 解得： \[ \begin{cases} x_1 = -1 - 2t \\ x_2 = 2 + t \\ x_3 = t \end{cases} \] 其中 $t$ 为任意常数。通解可表示为： \[ \boxed{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} } \] （或 $\boxed{ \begin{cases} x_1 = -1 - 2k \\ x_2 = 2 + k \\ x_3 = k \end{cases} }$，其中 $k$ 为任意常数。）