题目
设L是xOy平面上的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。用L上的点M_(1),M_(2),...,M_(n-1)把L分成n个小段，设第i个小段的长度为Delta S_(i)，(xi_(i),eta_(i))为第i个小段上的一点，i=1,2,...,n，则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分int_(L)f(x,y)ds=(） A. sum_(i=1)^nf(xi_(i),eta_(i))Delta S_(i)B. lim_(lambdaarrow 0)sum_(i=1)^nf(xi_(i),eta_(i))Delta S_(i)，其中Delta S_(i)必须有相等的长度，其中lambda为Delta S_(i)的长度的最大值C. lim_(lambdaarrow 0)sum_(i=0)^nf(xi_(i),eta_(i))Delta S_(i)，且极限值与L的分法无关，与(xi_(i),eta_(i))的取法无关D. lim_(lambdaarrow 0)sum_(i=1)^nf(xi_(i),eta_(i))Delta S_(i)
设$L$是$xOy$平面上的一条光滑曲线弧，函数$f(x,y)$在$L$上有界。用$L$上的点$M_{1},M_{2},\cdots,M_{n-1}$把$L$分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Delta S_{i}$，$(\xi_{i},\eta_{i})$为第$i$个小段上的一点，$i=1,2,\cdots,n$，则函数$f(x,y)$在曲线$L$上的对弧长的曲线积分$\int_{L}f(x,y)ds=$(）
- A. $\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta S_{i}$
- B. $\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta S_{i}$，其中$\Delta S_{i}$必须有相等的长度，其中$\lambda$为$\Delta S_{i}$的长度的最大值
- C. $\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta S_{i}$，且极限值与$L$的分法无关，与$(\xi_{i},\eta_{i})$的取法无关
- D. $\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta S_{i}$
题目解答
答案
函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分定义为：
\[
\int_L f(x, y) \, ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta S_i
\]
其中，$\lambda$ 为小段长度 $\Delta S_i$ 的最大值。
选项分析：
- **A**：无极限过程，错误。
- **B**：要求小段等长，非必要，错误。
- **C**：包含性质描述，非定义本身，错误。
- **D**：符合定义，正确。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：定义曲线积分
函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分定义为： \[ \int_L f(x, y) \, ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta S_i \] 其中，$\lambda$ 为小段长度 $\Delta S_i$ 的最大值。
步骤 2：分析选项
- **A**：无极限过程，错误。
- **B**：要求小段等长，非必要，错误。
- **C**：包含性质描述，非定义本身，错误。
- **D**：符合定义，正确。
函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分定义为： \[ \int_L f(x, y) \, ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta S_i \] 其中，$\lambda$ 为小段长度 $\Delta S_i$ 的最大值。
步骤 2：分析选项
- **A**：无极限过程，错误。
- **B**：要求小段等长，非必要，错误。
- **C**：包含性质描述，非定义本身，错误。
- **D**：符合定义，正确。