设 A 和 B 是任意两个不相容的事件，并且 P(A) neq 0，P(B) neq 0，则下列结论中肯定正确的是 ______。A. overline(A) 与 overline(B) 不相容B. overline(A) 与 overline(B) 相容C. P(AB) = P(A)P(B)D. P(A-B) = P(A)

我们来逐步分析这道概率论题目。

题目给出：

• A 和 B 是任意两个不相容的事件；
• 且 $ P(A) \neq 0 $，$ P(B) \neq 0 $。

我们需要判断四个选项中哪一个肯定正确。

第一步：理解“不相容事件”的含义

两个事件 A 和 B 不相容，意味着它们不能同时发生，即：

$A \cap B = \varnothing$

因此：

$P(A \cap B) = 0$

注意：不相容 ≠ 独立。事实上，如果两个事件都不可能同时发生（不相容），且概率都大于0，那它们一定不独立。

现在逐个分析选项：

选项 A：$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 不相容

$\overline{A}$ 表示 A 的对立事件（即 A 不发生），$\overline{B}$ 同理。

“不相容”意味着 $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$

但我们来思考一下：$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$，这是德摩根定律。

而 $\overline{A \cup B}$ 表示 A 和 B 都不发生，这在概率空间中通常是有可能发生的，除非 A 和 B 覆盖了整个样本空间。

举个反例：

设样本空间为掷一个六面骰子，样本点为 {1,2,3,4,5,6}

令：

• A = {1}，B = {2}，显然 A 和 B 不相容，且 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$
• 则 $\overline{A} = \{2,3,4,5,6\}$，$\overline{B} = \{1,3,4,5,6\}$
• 所以 $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3,4,5,6\} \neq \varnothing$

说明 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 是相容的，即可以同时发生。

所以选项 A 错误。

选项 B：$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相容

“相容”意味着 $\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing$，即 A 和 B 可以同时不发生。

从上面的反例可以看出，$\overline{A} \cap \overline{B}$ 是非空的。

我们进一步思考一般情况：

因为 A 和 B 不相容，所以 $A \cap B = \varnothing$，但 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，所以 A 和 B 都是样本空间中的非空真子集。

那么 $A \cup B$ 的概率是 $P(A) + P(B) > 0$，但由于没有说 $P(A) + P(B) = 1$，所以一般情况下 $P(A) + P(B) < 1$ 是可能的，甚至等于1也不一定覆盖所有情况。

关键是：$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$，其概率为：

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)] = 1 - P(A) - P(B)$

因为 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，但没有说 $P(A) + P(B) = 1$，所以 $1 - P(A) - P(B)$ 可能大于0，也可能等于0。

例如：

• 如果 $P(A) = 0.3$，$P(B) = 0.4$，则 $1 - 0.3 - 0.4 = 0.3 > 0$，所以 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 有正概率，相容。
• 但如果 $P(A) = 0.6$，$P(B) = 0.4$，且 A 和 B 不相容，则 $P(A \cup B) = 1$，所以 $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0$，即 $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$，此时 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 不相容

所以，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 不一定相容，也不一定不相容，取决于具体情况。

因此，选项 B 说“肯定正确”是不对的，因为它不是在所有情况下都成立。

> 举个 $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing$ 的例子：
>
> 设样本空间只有两个结果：A 发生或 B 发生。
>
> 比如：抛一枚硬币，正面 A，反面 B。
>
> 定义 A = 正面，B = 反面，则 A 和 B 不相容，且 $P(A) = 0.5 > 0$，$P(B) = 0.5 > 0$
>
> 则 $\overline{A} = B$，$\overline{B} = A$，所以 $\overline{A} \cap \overline{B} = B \cap A = \varnothing$
>
> 所以此时 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 不相容。

所以 B 选项 不是肯定正确，排除。

选项 C：$P(AB) = P(A)P(B)$

这是独立事件的定义。

但我们知道 A 和 B 不相容，所以 $P(A \cap B) = 0$

而 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$，所以 $P(A)P(B) > 0$

因此：

$P(AB) = 0 \ne P(A)P(B) > 0$

所以 A 和 B 不独立，这个等式不成立。

因此选项 C 错误。

选项 D：$P(A - B) = P(A)$

我们分析这个。

$A - B$ 表示 A 发生但 B 不发生，即 $A \cap \overline{B}$

由于 A 和 B 是不相容的，即 $A \cap B = \varnothing$，所以 A 中的任何结果都不在 B 中。

因此，A 发生时，B 一定不发生，即 $A \subseteq \overline{B}$

所以：

$A - B = A \cap \overline{B} = A$

因此：

$P(A - B) = P(A)$

这个等式恒成立，只要 A 和 B 不相容。

所以选项 D 肯定正确。

结论：

只有选项 D 在所有满足条件的情况下都成立。

✅ 正确答案：D

答案：$\boxed{D}$