若n元实二次型的秩小于n,则该二次型不正定。A. √B. X

本题考查二次型正定的判定以及二次型秩的相关知识。解题的关键在于明确二次型正定的定义和性质，以及二次型秩与正定之间的联系。

1. 明确二次型正定的定义

对于一个$n$元实二次型$ff(x_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$（其中$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，$A$为实对称矩阵），若对于任意非非零向量$\mathbf{x}$，都有$f_1(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}>0$，则称该二次型是正定的。

2. 分析二次型的秩与标准形的关系

根据二次型的理论，任何一个$n$元实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$都可以通过可逆线性变换$\mathbf{x}=C\mathbf{y}$（$C$为可逆矩阵，$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$）化为标准形$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f_1(y_1,y_2,\cdots,y_n)=d_1y_1^2 + d_2y_2^2+\cdots\ + d_ry_r^2$，其中$r$为二次型的秩，即矩阵$A$的秩$r(A)=r$，且$r < n$。

3. 利用标准形判断二次型是否正定

在标准形$f_1(y_1,y_2,\cdots,y_n)=d_1y_1^2 + d_2y_2^2+\cdots + d_ry_r^2$中，由于$r < n$，我们可以取一组特殊的非零向量$\mathbf{y}^*=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$（其中非\\(第$r + 1$个分量为$1$，其余分量为$0$），此时$f_1(\mathbf{y}^*) = 0$。

因为存在非零向量$\mathbf{x}^*=C\mathbf{y^*$（由于$C$可逆，$\mathbf{x}^*\neq\mathbf{0}$），使得$f(\mathbf{x}^*)^T A\mathbf{x}^*=f_1(\mathbf{y}^*) = 0$，不满足正定二次型正定的定义（对于任意非零$\mathbf{x}$，都有$\mathbf{x}^T A\mathbf{x}>0$。

所以，若$n$元实二次型的秩小于$n$，则该二次型不正定，该命题正确。