题目
微分方程 dfrac (dy)(dx)=y+(x)^3 的通解是 ()-|||-A) dfrac ({x)^3}(4)+dfrac (c)(x)-|||-B dfrac ({x)^3}(2)+cx-|||-C dfrac ({x)^3}(2)+c-|||-D dfrac ({x)^3}(4)+cxA、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：将微分方程重写为标准形式
给定的微分方程是 $x\dfrac {dy}{dx}=y+{x}^{3}$。首先，将方程重写为标准形式，即 $\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {1}{x}y={x}^{2}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x)=-\dfrac {1}{x}$，$Q(x)={x}^{2}$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的积分因子为 $e^{\int P(x)dx}$。因此，积分因子为 $e^{\int -\dfrac {1}{x}dx}=e^{-\ln|x|}=\dfrac {1}{x}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子乘以微分方程的两边，得到 $\dfrac {1}{x}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {1}{{x}^{2}}y=x$。这可以写成 $\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x})=x$。对两边积分，得到 $\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{2}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将上式乘以 $x$，得到 $y=\dfrac {{x}^{3}}{2}+Cx$。这就是微分方程的通解。
给定的微分方程是 $x\dfrac {dy}{dx}=y+{x}^{3}$。首先，将方程重写为标准形式，即 $\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {1}{x}y={x}^{2}$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(x)=-\dfrac {1}{x}$，$Q(x)={x}^{2}$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的积分因子为 $e^{\int P(x)dx}$。因此，积分因子为 $e^{\int -\dfrac {1}{x}dx}=e^{-\ln|x|}=\dfrac {1}{x}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子乘以微分方程的两边，得到 $\dfrac {1}{x}\dfrac {dy}{dx}-\dfrac {1}{{x}^{2}}y=x$。这可以写成 $\dfrac {d}{dx}(\dfrac {y}{x})=x$。对两边积分，得到 $\dfrac {y}{x}=\dfrac {{x}^{2}}{2}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将上式乘以 $x$，得到 $y=\dfrac {{x}^{3}}{2}+Cx$。这就是微分方程的通解。