题目
设 A 是 n 阶方阵，如果 |A|=0，则 A 的特征值（ ）。A. 全为零B. 全部为零C. 至少有一个是零D. 可以是任意数
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果 $|A|=0$，则 $A$ 的特征值（ ）。
A. 全为零
B. 全部为零
C. 至少有一个是零
D. 可以是任意数
题目解答
答案
C. 至少有一个是零
解析
步骤 1：理解特征值的定义
特征值是方阵 $A$ 的一个标量 $\lambda$，使得存在非零向量 $x$，满足 $Ax = \lambda x$。特征值的求解可以通过解方程 $|A - \lambda I| = 0$ 来获得，其中 $I$ 是单位矩阵。
步骤 2：分析行列式为零的含义
如果 $|A| = 0$，则矩阵 $A$ 是奇异的，即 $A$ 不可逆。这意味着 $A$ 的列向量线性相关，从而存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = 0$。这表明 $0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
步骤 3：确定特征值的性质
由于 $0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，因此矩阵 $A$ 的特征值中至少有一个是零。这并不意味着所有特征值都是零，因为矩阵 $A$ 可以有其他非零特征值。
特征值是方阵 $A$ 的一个标量 $\lambda$，使得存在非零向量 $x$，满足 $Ax = \lambda x$。特征值的求解可以通过解方程 $|A - \lambda I| = 0$ 来获得，其中 $I$ 是单位矩阵。
步骤 2：分析行列式为零的含义
如果 $|A| = 0$，则矩阵 $A$ 是奇异的，即 $A$ 不可逆。这意味着 $A$ 的列向量线性相关，从而存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = 0$。这表明 $0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值。
步骤 3：确定特征值的性质
由于 $0$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，因此矩阵 $A$ 的特征值中至少有一个是零。这并不意味着所有特征值都是零，因为矩阵 $A$ 可以有其他非零特征值。