16.（单选题，1.5分） 对于定积分int0pi xsin xdx，使用分部积分法则时，应设（） A. u=x，dv=sin xdx B. u=sin x，dv=xdx C. u=xsin x，dv=dx D. u=sin x，dv=sin xdx

分部积分法的核心思路是选择合适的$u$和$dv$，使得积分后的$\int v \, du$比原积分更简单。本题中，原积分$\int_0^\pi x \sin x \, dx$含有$x$与$\sin x$的乘积，需通过“复杂化简”原则选择$u$和$dv$：

• 优先选$u$为多项式函数（如$x$），因为求导后次数会降低；
• 剩余部分作为$dv$（如$\sin x \, dx$），需容易积分。

选项分析

选项A：$u = x$，$dv = \sin x \, dx$

1. 求导与积分：
   • $du = dx$；
   • $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$；
2. 代入分部积分公式：
   $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$
3. 定积分计算：
   $\left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^\pi = \pi$
   积分简化成功，结果正确。

选项B：$u = \sin x$，$dv = x \, dx$

1. 求导与积分：
   • $du = \cos x \, dx$；
   • $v = \frac{1}{2}x^2$；
2. 代入分部积分公式：
   $\int x \sin x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \sin x - \int \frac{1}{2}x^2 \cos x \, dx$
   新积分$\int x^2 \cos x \, dx$更复杂，需多次分部积分，效率低。

选项C：$u = x \sin x$，$dv = dx$

1. 求导与积分：
   • $du = \sin x \, dx + x \cos x \, dx$；
   • $v = x$；
2. 代入分部积分公式：
   $\int x \sin x \, dx = x^2 \sin x - \int x (\sin x + x \cos x) \, dx$
   产生更高次项$x^2 \cos x$，积分难度增加。

选项D：$u = \sin x$，$dv = \sin x \, dx$

1. 求导与积分：
   • $du = \cos x \, dx$；
   • $v = -\cos x$；
2. 代入分部积分公式：
   $\int \sin x \cdot \sin x \, dx = -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx$
   未处理原积分中的$x$项，无法简化原积分。