题目
如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳,带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r-|||-处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:-|||-(1)球壳内外表面上的电荷;-|||-(2)球心O点处,由球壳内表面上电荷产生的电势;-|||-(3)球心O点处的总电势.-|||-r a-|||-90 b-|||-2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球壳内外表面上的电荷
根据静电感应原理，金属球壳的内表面上会感应出与点电荷q等量但符号相反的电荷，即$-q$。而球壳外表面的电荷量为球壳总电荷量Q加上内表面感应出的电荷量$-q$，即$Q+q$。
步骤 2：计算球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面上的电荷量为$-q$，这些电荷均匀分布在内表面上，球心O点到内表面的距离为a。根据点电荷电势公式，球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势为$U_{-q} = \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a}$。
步骤 3：计算球心O点处的总电势
球心O点处的总电势为点电荷q、球壳内表面电荷$-q$和球壳外表面电荷$Q+q$在O点产生的电势的代数和。点电荷q在O点产生的电势为$U_q = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$，球壳外表面电荷$Q+q$在O点产生的电势为$U_{Q+q} = \dfrac{Q+q}{4\pi \varepsilon_0 b}$。因此，球心O点处的总电势为$U_0 = U_q + U_{-q} + U_{Q+q}$。
根据静电感应原理，金属球壳的内表面上会感应出与点电荷q等量但符号相反的电荷，即$-q$。而球壳外表面的电荷量为球壳总电荷量Q加上内表面感应出的电荷量$-q$，即$Q+q$。
步骤 2：计算球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面上的电荷量为$-q$，这些电荷均匀分布在内表面上，球心O点到内表面的距离为a。根据点电荷电势公式，球心O点处由球壳内表面上电荷产生的电势为$U_{-q} = \dfrac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a}$。
步骤 3：计算球心O点处的总电势
球心O点处的总电势为点电荷q、球壳内表面电荷$-q$和球壳外表面电荷$Q+q$在O点产生的电势的代数和。点电荷q在O点产生的电势为$U_q = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$，球壳外表面电荷$Q+q$在O点产生的电势为$U_{Q+q} = \dfrac{Q+q}{4\pi \varepsilon_0 b}$。因此，球心O点处的总电势为$U_0 = U_q + U_{-q} + U_{Q+q}$。