二元函数f(x,y)= ^2+{y)^2},(x,y)neq (0,0 0,(x,y)=(0,0) .在点(0,0)处( ).(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在

考查要点：本题主要考查二元函数在某一点的连续性和偏导数存在的判定方法。

解题核心思路：

1. 连续性：判断函数在$(0,0)$处是否连续，需验证当$(x,y)$沿任意路径趋近于$(0,0)$时，函数值的极限是否等于$f(0,0)=0$。若存在不同路径导致极限不同，则函数不连续。
2. 偏导数存在性：分别计算偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$，若极限存在，则偏导数存在。

破题关键点：

• 连续性：通过沿不同路径（如直线$y=kx$）趋近于原点，发现极限值随$k$变化而不同，说明极限不存在，故函数不连续。
• 偏导数：利用偏导数的定义，分别沿$x$轴和$y$轴方向计算，发现极限均为$0$，故偏导数存在。

连续性分析

1. 沿坐标轴趋近：
   • 沿$x$轴（$y=0$）：$\lim_{x \to 0} f(x,0) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0} = 0$。
   • 沿$y$轴（$x=0$）：$\lim_{y \to 0} f(0,y) = \lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y}{0 + y^2} = 0$。
2. 沿直线$y=kx$趋近：
   $f(x,kx) = \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}.$
   当$x \to 0$时，极限为$\frac{k}{1+k^2}$，其值随$k$不同而变化（例如$k=1$时极限为$\frac{1}{2}$，$k=0$时极限为$0$）。因此，极限值不唯一，函数在$(0,0)$处不连续。

偏导数存在性分析

1. 计算$f_x(0,0)$：
   $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0.$
2. 计算$f_y(0,0)$：
   $f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0.$
   因此，偏导数存在且均为$0$。