求空间一点(x_(0)，y_(0)，z_(0))到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.

步骤 1：定义目标函数
设$(x,y,z)$为平面$Ax+By+Cz+D=0$上的任意一点，则目标函数为$sqrt{left(x-x_{0}right)^{2}+left(y-y_{0}right)^{2}+left(z-z_{0}right)^{2}}$，表示点$(x_{0}$，$y_{0}$，$z_{0})$到点$(x,y,z)$的距离。
步骤 2：转化为条件极值问题
可以将问题转化为求函数$fleft(x,y,zright)=left(x-x_{0}right)^{2}+left(y-y_{0}right)^{2}+left(z-z_{0}right)^{2}$在约束条件$Ax+By+Cz+D=0$下的最小值问题。
步骤 3：使用拉格朗日乘数法
利用拉格朗日乘数法求条件极值，设$Lleft(x,y,z,mu right)=left(x-x_{0}right)^{2}+left(y-y_{0}right)^{2}+left(z-z_{0}right)^{2}+mu left(Ax+By+Cz+Dright)$，其中$\mu$为拉格朗日乘数。
步骤 4：求偏导数并令其为零
对$L$分别求偏导数，并令其为零，即$left{begin{array}{l}L_{x}=2left(x-x_{0}right)+mu A=0\L_{y}=2left(y-y_{0}right)+mu B=0\L_{z}=2left(z-z_{0}right)+mu C=0\L_{mu }=Ax+By+Cz+D=0end{array}right.left(1right) left(2right) left(3right) left(4right)$。
步骤 5：求解$\mu$
将$(1)$式乘以$A$，$(2)$式乘以$B$，$(3)$式乘以$C$，然后相加并代入$(4)$式，得到$mu =dfrac{2left(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}right)}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$。
步骤 6：求解$(x_{1},y_{1},z_{1})$
由$(1)$式得$x_{1}=x_{0}-dfrac{A}{2}mu $，由$(2)$式得$y_{1}=y_{0}-dfrac{B}{2}mu $，由$(3)$式得$z_{1}=z_{0}-dfrac{C}{2}mu $。
步骤 7：计算最短距离
点$(x_{0}$，$y_{0}$，$z_{0})$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的最短距离为$d=sqrt{left(x_{1}-x_{0}right)^{2}+left(y_{1}-y_{0}right)^{2}+left(z_{1}-z_{0}right)^{2}}=dfrac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$。