题目
3.[单选题]设有复数,,则等式（）对任意的复数均成立对任意的复数均不成立当为实数时成立当时成立
3.[单选题]设有复数
,
,则等式
（）
对任意的复数
均成立
对任意的复数均不成立
当为实数时成立
当
时成立
题目解答
答案
我们不妨设
，
则
，
那么
则
，
同样的我们将，带入到等式右边的
得：
所以当为实数时，等式成立，本题应选C。
其余ABD项学生可以自主带入进行计算，可以发现都不一定成立，
本题选C。
解析
步骤 1：定义复数
设复数${z}_{1}=a+bi$，${z}_{2}=c+di$，其中$a,b,c,d$为实数，$i$为虚数单位。
步骤 2：计算复数的共轭
复数${z}_{1}$的共轭为$\overline {{z}_{1}}=a-bi$，复数${z}_{2}$的共轭为$\overline {{z}_{2}}=c-di$。
步骤 3：计算复数的商
计算$\dfrac {{z}_{1}}{{z}_{2}}$，即$\dfrac {a+bi}{c+di}$，通过乘以共轭复数$c-di$，得到：
$\dfrac {a+bi}{c+di}=\dfrac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac {ac+bd+(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}$
步骤 4：计算复数的共轭商
计算$\dfrac {\overline {{z}_{1}}}{{z}_{2}}$，即$\dfrac {a-bi}{c+di}$，通过乘以共轭复数$c-di$，得到：
$\dfrac {a-bi}{c+di}=\dfrac {(a-bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac {ac+bd-(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}$
步骤 5：比较两个结果
比较$\dfrac {{z}_{1}}{{z}_{2}}$和$\dfrac {\overline {{z}_{1}}}{{z}_{2}}$，发现当$b=0$和$d=0$时，即${z}_{1}$和${z}_{2}$为实数时，两个结果相等。
设复数${z}_{1}=a+bi$，${z}_{2}=c+di$，其中$a,b,c,d$为实数，$i$为虚数单位。
步骤 2：计算复数的共轭
复数${z}_{1}$的共轭为$\overline {{z}_{1}}=a-bi$，复数${z}_{2}$的共轭为$\overline {{z}_{2}}=c-di$。
步骤 3：计算复数的商
计算$\dfrac {{z}_{1}}{{z}_{2}}$，即$\dfrac {a+bi}{c+di}$，通过乘以共轭复数$c-di$，得到：
$\dfrac {a+bi}{c+di}=\dfrac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac {ac+bd+(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}$
步骤 4：计算复数的共轭商
计算$\dfrac {\overline {{z}_{1}}}{{z}_{2}}$，即$\dfrac {a-bi}{c+di}$，通过乘以共轭复数$c-di$，得到：
$\dfrac {a-bi}{c+di}=\dfrac {(a-bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac {ac+bd-(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}$
步骤 5：比较两个结果
比较$\dfrac {{z}_{1}}{{z}_{2}}$和$\dfrac {\overline {{z}_{1}}}{{z}_{2}}$，发现当$b=0$和$d=0$时，即${z}_{1}$和${z}_{2}$为实数时，两个结果相等。