题目
7.(单选题,5.0分)函数 z=f(x,y) 在点(x,y)可微分,则在该点() ()-|||-A dfrac (sigma z)(sigma x) 和 dfrac ({C)_(2)}({C)_(2)} 一定连续-|||-B dfrac (overline {Cz)}(sigma x) 和 dfrac ({C)_(2)}({C)_(2)} 未必存在-|||-C dfrac (sigma z)(sigma x) 和 dfrac ({sigma )_(2)}({C)_(y)} 一定存在-|||-D 函数 z=f(x,y) 未必连续
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解可微分的定义
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，意味着在该点处，函数的全微分存在，即存在一个线性函数 $dz$，使得 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，并且 $dz$ 能够近似地表示函数在该点处的增量。
步骤 2：分析选项
A. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 一定连续
B. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 未必存在
C. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 一定存在
D. 函数 $z=f(x,y)$ 未必连续
步骤 3：判断正确选项
根据可微分的定义，如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么在该点处，函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必须存在。但是，偏导数存在并不意味着它们一定连续，也不意味着函数本身一定连续。因此，选项 C 是正确的。
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，意味着在该点处，函数的全微分存在，即存在一个线性函数 $dz$，使得 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，并且 $dz$ 能够近似地表示函数在该点处的增量。
步骤 2：分析选项
A. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 一定连续
B. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 未必存在
C. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 一定存在
D. 函数 $z=f(x,y)$ 未必连续
步骤 3：判断正确选项
根据可微分的定义，如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么在该点处，函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必须存在。但是，偏导数存在并不意味着它们一定连续，也不意味着函数本身一定连续。因此，选项 C 是正确的。