题目
级数的每一项同乘一个常数后其敛散性不变 . ( ) A 对 B 错
级数的每一项同乘一个常数后其敛散性不变 . ( )
A 对
B 错
题目解答
答案
答案为：B
根据题目已知条件：判断“级数的每一项同乘一个常数”后的敛散性。
此时需分类讨论常数的值：
若常数为0，此级数的敛散性可能会改变；
若常数不为0，那么其敛散性一定不会变。
故本题中的结论有误。
故答案选B
解析
步骤 1：分析常数为0的情况
如果常数为0，那么级数的每一项都会变成0，从而级数的和为0，这是一个收敛级数。因此，当常数为0时，级数的敛散性可能会改变。
步骤 2：分析常数不为0的情况
如果常数不为0，那么级数的每一项都会乘以一个非零常数。根据级数的性质，如果原级数收敛，那么乘以一个非零常数后的级数仍然收敛；如果原级数发散，那么乘以一个非零常数后的级数仍然发散。因此，当常数不为0时，级数的敛散性不会改变。
步骤 3：总结
根据上述分析，当常数为0时，级数的敛散性可能会改变；当常数不为0时，级数的敛散性不会改变。因此，题目中的结论有误。
如果常数为0，那么级数的每一项都会变成0，从而级数的和为0，这是一个收敛级数。因此，当常数为0时，级数的敛散性可能会改变。
步骤 2：分析常数不为0的情况
如果常数不为0，那么级数的每一项都会乘以一个非零常数。根据级数的性质，如果原级数收敛，那么乘以一个非零常数后的级数仍然收敛；如果原级数发散，那么乘以一个非零常数后的级数仍然发散。因此，当常数不为0时，级数的敛散性不会改变。
步骤 3：总结
根据上述分析，当常数为0时，级数的敛散性可能会改变；当常数不为0时，级数的敛散性不会改变。因此，题目中的结论有误。