题目
求指导本题解题过程，谢谢您！lim _((xarrow 2))(dfrac (sin ({x)^3+(y)^3)}(x+y)=-|||-()-|||-A.-|||-1-|||-B.-|||-0-|||-C.-|||-不存在-|||-D.-|||-0或1
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限形式
首先，我们注意到极限的形式是 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {\sin ({x}^{3}+{y}^{3})}{x+y}$。当 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，分子 $\sin ({x}^{3}+{y}^{3})$ 趋向于 $\sin(0) = 0$，分母 $x+y$ 也趋向于 $0$。因此，这是一个 $\frac{0}{0}$ 的不定型，需要进一步分析。
步骤 2：利用等价无穷小
当 $x$ 和 $y$ 都趋向于 $0$ 时，${x}^{3}+{y}^{3}$ 也趋向于 $0$。我们知道，当 $z$ 趋向于 $0$ 时，$\sin(z)$ 与 $z$ 是等价无穷小，即 $\sin(z) \sim z$。因此，$\sin({x}^{3}+{y}^{3}) \sim {x}^{3}+{y}^{3}$。
步骤 3：简化极限表达式
将 $\sin({x}^{3}+{y}^{3})$ 替换为 ${x}^{3}+{y}^{3}$，则原极限变为 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {{x}^{3}+{y}^{3}}{x+y}$。接下来，我们利用因式分解简化表达式。注意到 ${x}^{3}+{y}^{3} = (x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})$，因此原极限可以写为 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {(x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})}{x+y}$。
步骤 4：计算极限
由于 $(x+y)$ 在分母和分子中都出现，且 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，$x+y$ 不为 $0$，我们可以约去 $(x+y)$，得到 $\lim _{(x\rightarrow y)}({x}^{2}-xy+{y}^{2})$。当 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，${x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 趋向于 $0$。
首先，我们注意到极限的形式是 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {\sin ({x}^{3}+{y}^{3})}{x+y}$。当 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，分子 $\sin ({x}^{3}+{y}^{3})$ 趋向于 $\sin(0) = 0$，分母 $x+y$ 也趋向于 $0$。因此，这是一个 $\frac{0}{0}$ 的不定型，需要进一步分析。
步骤 2：利用等价无穷小
当 $x$ 和 $y$ 都趋向于 $0$ 时，${x}^{3}+{y}^{3}$ 也趋向于 $0$。我们知道，当 $z$ 趋向于 $0$ 时，$\sin(z)$ 与 $z$ 是等价无穷小，即 $\sin(z) \sim z$。因此，$\sin({x}^{3}+{y}^{3}) \sim {x}^{3}+{y}^{3}$。
步骤 3：简化极限表达式
将 $\sin({x}^{3}+{y}^{3})$ 替换为 ${x}^{3}+{y}^{3}$，则原极限变为 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {{x}^{3}+{y}^{3}}{x+y}$。接下来，我们利用因式分解简化表达式。注意到 ${x}^{3}+{y}^{3} = (x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})$，因此原极限可以写为 $\lim _{(x\rightarrow y)}\dfrac {(x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})}{x+y}$。
步骤 4：计算极限
由于 $(x+y)$ 在分母和分子中都出现，且 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，$x+y$ 不为 $0$，我们可以约去 $(x+y)$，得到 $\lim _{(x\rightarrow y)}({x}^{2}-xy+{y}^{2})$。当 $(x,y)$ 趋向于 $(0,0)$ 时，${x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 趋向于 $0$。