[题目]半球面 =sqrt (1-{x)^2-(y)^2} 和锥面 =2sqrt ({x)^2+(y)^2} 的-|||-交线在xOy坐标面上的投影曲线上的点与点 (-1,-|||-2,1)的距离的最大值为 ()-|||-A. sqrt (dfrac {31)(5)}-|||-B. sqrt (dfrac {51)(5)}-|||-C. sqrt (dfrac {21)(5)}-|||-D. sqrt (dfrac {41)(5)}

步骤 1：确定交线方程
半球面 $z=\sqrt {1-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 和锥面 $z=2\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的交线满足两个方程，将两个方程联立，得到交线方程。
$$
\sqrt {1-{x}^{2}-{y}^{2}} = 2\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}
$$
步骤 2：化简交线方程
将方程两边平方，化简得到交线在xOy坐标面上的投影曲线方程。
$$
1 - x^2 - y^2 = 4(x^2 + y^2)
$$
$$
1 = 5(x^2 + y^2)
$$
$$
x^2 + y^2 = \frac{1}{5}
$$
步骤 3：计算距离
点 $(-1$, 2,1)在xOy坐标面上的投影为 $(-1$, 2,0)，设投影曲线上的点为 $(x, y, 0)$，则距离 $d$ 为：
$$
d = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2}
$$
由于 $x^2 + y^2 = \frac{1}{5}$，可以将 $x$ 和 $y$ 用极坐标表示，设 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中 $r = \sqrt{\frac{1}{5}}$，则：
$$
d = \sqrt{(r\cos\theta + 1)^2 + (r\sin\theta - 2)^2}
$$
$$
d = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{1}{5}}\cos\theta + 1\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{1}{5}}\sin\theta - 2\right)^2}
$$
步骤 4：求最大值
对 $d$ 关于 $\theta$ 求导，找到 $d$ 的最大值。
$$
d = \sqrt{\frac{1}{5}\cos^2\theta + 2\sqrt{\frac{1}{5}}\cos\theta + 1 + \frac{1}{5}\sin^2\theta - 4\sqrt{\frac{1}{5}}\sin\theta + 4}
$$
$$
d = \sqrt{\frac{1}{5} + 2\sqrt{\frac{1}{5}}\cos\theta - 4\sqrt{\frac{1}{5}}\sin\theta + 5}
$$
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d = \sqrt{\frac{26}{5} + 2\sqrt{\frac{1}{5}}\cos\theta - 4\sqrt{\frac{1}{5}}\sin\theta}
$$
$$
d = \sqrt{\frac{26}{5} + 2\sqrt{\frac{1}{5}}(\cos\theta - 2\sin\theta)}
$$
$$
d = \sqrt{\frac{26}{5} + 2\sqrt{\frac{1}{5}}\sqrt{5}\cos(\theta + \phi)}
$$
$$
d = \sqrt{\frac{26}{5} + 2\cos(\theta + \phi)}
$$
其中 $\phi$ 是一个常数，使得 $\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin\phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$。当 $\cos(\theta + \phi) = 1$ 时，$d$ 取最大值。
$$
d_{\text{max}} = \sqrt{\frac{26}{5} + 2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \sqrt{\frac{51}{5}}
$$