设 f(x)= { xgt 0 1-x xleqslant 0 . 在 x=0 点处连续,则 k= () .-|||-A. -1 B.1 C. -2 D.2

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，以及利用等价无穷小或洛必达法则求极限的能力。

解题核心思路：
函数在某点连续的充要条件是左右极限存在且相等，且等于该点的函数值。题目中函数在$x=0$处连续，因此需要分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，并令它们相等且等于$f(0)$的值。

破题关键点：

1. 确定函数分段定义：题目隐含$f(x)$在$x \leq 0$时的表达式为$1 - x$（根据答案推断）。
2. 计算左右极限：
   • 当$x \to 0^+$时，利用等价无穷小替换$e^{2x} - 1 \sim 2x$，简化极限计算。
   • 当$x \to 0^-$时，直接代入表达式$1 - x$求极限。
3. 建立方程求解$k$：令左右极限相等，解出$k$的值。

步骤1：分析函数分段定义
题目中函数$f(x)$定义为：
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x} - 1}{kx}, & x > 0, \\1 - x, & x \leq 0.\end{cases}$

步骤2：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$
当$x \to 0^-$时，$f(x) = 1 - x$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 - 0 = 1.$

步骤3：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$
当$x \to 0^+$时，分子$e^{2x} - 1$与$2x$等价无穷小，因此：
$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{2x} - 1}{kx} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{2x}{kx} = \dfrac{2}{k}.$

步骤4：利用连续性条件列方程
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0).$
代入已知值：
$1 = \dfrac{2}{k} \quad \Rightarrow \quad k = 2.$