题目
5.(判断题，20分)集合S=(x_{1),x_(2),...,x_(n))mid x_(1)+x_(2)+...+x_(n)=1}不是向量空间.A.对B.错
5.(判断题，20分)
集合$S=\left\{(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\right\}$不是向量空间.
A.对
B.错
题目解答
答案
集合 $ S = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mid x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1\} $ 需满足向量空间条件，包括加法和标量乘法的封闭性。
- **加法封闭性**：取 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in S$，则 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 的分量和为 $2$，不满足条件。
- **标量乘法封闭性**：取 $\mathbf{u} \in S$ 和标量 $c$，则 $c\mathbf{u}$ 的分量和为 $c$，仅当 $c=1$ 时满足条件，故不封闭。
- **零向量**：零向量分量和为 $0$，不在 $S$ 中。
因此，$S$ 不满足向量空间条件，答案为 $\boxed{A}$。
解析
本题考查向量空间的定义与性质，需判断集合$S=\left\{(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\right\}\}$是否满足向量空间的条件。向量空间需满足对加法和运算、数乘运算封闭，且包含零向量，具体分析如下：
1. 加法封闭性不满足
任取$\mathbf{u}=(u_1,\cdots,u_n)\in S$、$\mathbf{v}=(v_1,\cdots,v_n)\in S$，则$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\cdots,u_n+v_n)$的分量和为：
$(u_1+\cdots+u_n)+(v_1+\cdots+v_n)=1+1=2\neq1$
故$\mathbf{u}+\mathbf{v}\notin S$，加法不封闭。
2. 数乘封闭性不满足
任$\mathbf{u}\in S$、标量$c$，则$c\mathbf{u}=(cu_1,\cdots,cu_n)$的和为：
$c(u_1+\cdots+u_n)=c\cdot1=c
\neq1\quad(c\neq1)$
仅当$c=1$时满足，数乘不封闭。
3. 不含零向量
零向量$(0,\cdots,0)$的分量和为$0\neq1$，故零向量$\notin S$。
综上，$S$不满足向量空间的条件，题目判断“不是向量空间”正确。