题目
已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.A-|||-D-|||-B
已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
题目解答
答案
解：
证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC
∴△ABC≌△ADC，△ABD≌△CDB
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
即AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
解析
步骤 1：利用菱形的性质
菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。因此，AC和BD互相垂直平分，且AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
步骤 2：证明AC平分∠BAD和∠BCD
由于AC是菱形ABCD的对角线，根据菱形的性质，AC平分∠BAD和∠BCD。具体来说，由于AB=AD，BC=CD，且AC是公共边，所以△ABC≌△ADC，从而∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，即AC平分∠BAD和∠BCD。
步骤 3：证明BD平分∠ABC和∠ADC
由于BD是菱形ABCD的对角线，根据菱形的性质，BD平分∠ABC和∠ADC。具体来说，由于AB=BC，AD=CD，且BD是公共边，所以△ABD≌△CDB，从而∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC和∠ADC。
菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。因此，AC和BD互相垂直平分，且AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
步骤 2：证明AC平分∠BAD和∠BCD
由于AC是菱形ABCD的对角线，根据菱形的性质，AC平分∠BAD和∠BCD。具体来说，由于AB=AD，BC=CD，且AC是公共边，所以△ABC≌△ADC，从而∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，即AC平分∠BAD和∠BCD。
步骤 3：证明BD平分∠ABC和∠ADC
由于BD是菱形ABCD的对角线，根据菱形的性质，BD平分∠ABC和∠ADC。具体来说，由于AB=BC，AD=CD，且BD是公共边，所以△ABD≌△CDB，从而∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC和∠ADC。