【题目】-|||-设 (alpha )_(1)=(1,2,1,0) (alpha )_(2)=(-1,1,1,1) (beta )_(1)=(2,-1,0,-|||-1) (beta )_(2)=(1,-1,3,7) ,试求 ((alpha )_(1),(alpha )_(2))cap I((beta )_(1),(beta )_(2)) 的一组基与维数.

步骤 1：确定 $L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})$ 和 $L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 的维数
$L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})$ 和 $L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 分别由两个线性无关的向量生成，因此它们的维数均为2。
步骤 2：求 $L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})+L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 的维数
将 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 放入矩阵中，进行行简化阶梯形变换，以确定它们的秩。
步骤 3：计算 $L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})\cap L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 的维数
根据维数公式，$dim(L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})\cap L({\beta }_{1},{\beta }_{2}))=dim(L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2}))+dim(L({\beta }_{1},{\beta }_{2}))-dim(L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})+L({\beta }_{1},{\beta }_{2}))$。
步骤 4：求 $L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})\cap L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 的一组基
设 $\alpha \in L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})\cap L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$，则 $\alpha$ 可以表示为 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2}$ 的线性组合，也可以表示为 ${\beta }_{1},{\beta }_{2}$ 的线性组合。通过解方程组找到 $\alpha$ 的表达式，从而确定 $L({\alpha }_{1},{\alpha }_{2})\cap L({\beta }_{1},{\beta }_{2})$ 的一组基。