题目

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成。已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w=kx^2，其中k为比例系数）。当速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。(1) 请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；(2) 要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成。已知该货轮每小时的燃料费用$w$与其航行速度$x$的平方成正比（即：$w=kx^2$，其中$k$为比例系数）。当速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。 (1) 请将从甲地到乙地的运输成本$y$（元）表示为航行速度$x$（海里/小时）的函数； (2) 要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

题目解答

答案

我们来逐步解决这道题。 --- ### **题目分析：** - 甲、乙两地相距：300 海里 - 航行速度：$ x $ 海里/小时（$ 0 < x \leq 50 $） - 每小时燃料费用：$ w = kx^2 $ - 已知：当 $ x = 30 $ 时，燃料费用为 450 元/小时 - 其他费用：800 元/小时 - 总运输成本 = 燃料费用 + 其他费用 - 要求： 1. 建立运输成本 $ y $ 关于速度 $ x $ 的函数； 2. 求使运输成本最少的速度 $ x $。 --- ## **第(1)问：建立运输成本函数** ### **1.1 确定燃料费用的系数 $ k $** 已知： $$ w = kx^2 $$ 当 $ x = 30 $ 时，$ w = 450 $，代入得： $$ 450 = k \cdot 30^2 = k \cdot 900 \Rightarrow k = \frac{450}{900} = 0.5 $$ 所以，每小时燃料费用为： $$ w = 0.5x^2 $$ ### **1.2 计算总成本函数** 货轮从甲地到乙地航行时间为： $$ t = \frac{300}{x} \text{ 小时} $$ 每小时总成本 = 燃料费用 + 其他费用： $$ \text{每小时总成本} = 0.5x^2 + 800 $$ 所以，总运输成本为： $$ y = \left( 0.5x^2 + 800 \right) \cdot \frac{300}{x} $$ 化简： $$ y = \left( \frac{0.5x^2 + 800}{x} \right) \cdot 300 = 300 \cdot \left( \frac{0.5x^2 + 800}{x} \right) $$ 进一步化简： $$ y = 300 \cdot \left( \frac{0.5x^2}{x} + \frac{800}{x} \right) = 300 \cdot \left( 0.5x + \frac{800}{x} \right) $$ 最终得到运输成本函数： $$ \boxed{y(x) = 300 \left( 0.5x + \frac{800}{x} \right), \quad 0 < x \leq 50} $$ --- ## **第(2)问：求使运输成本最小的速度** 我们要求函数： $$ y(x) = 300 \left( 0.5x + \frac{800}{x} \right) $$ 在区间 $ (0, 50] $ 上的最小值。 ### **2.1 求导找极值点** 令： $$ y(x) = 300 \left( 0.5x + \frac{800}{x} \right) $$ 先对括号内部分求导： $$ \frac{dy}{dx} = 300 \cdot \left( 0.5 - \frac{800}{x^2} \right) $$ 令导数为 0，求极值点： $$ 0.5 - \frac{800}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{800}{x^2} = 0.5 \Rightarrow x^2 = \frac{800}{0.5} = 1600 \Rightarrow x = \sqrt{1600} = 40 $$ ### **2.2 判断极值点是否为最小值** 由于 $ y(x) $ 在 $ x > 0 $ 上连续可导，且导数在 $ x = 40 $ 处为 0，我们可以通过二阶导数判断极值性质。 对 $ y(x) $ 求二阶导数： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = 300 \cdot \left( \frac{1600}{x^3} \right) > 0 \quad \text{（当 } x > 0 \text{）} $$ 所以，函数在 $ x = 40 $ 处取得**极小值**。 又因为定义域是 $ (0, 50] $，且函数在边界 $ x \to 0^+ $ 时趋于无穷大，$ x = 50 $ 时函数值大于 $ x = 40 $ 时的值，所以 **最小值出现在 $ x = 40 $**。 --- ## **最终答案：** ### **(1)** 运输成本函数为： $$ \boxed{y(x) = 300 \left( 0.5x + \frac{800}{x} \right), \quad 0 < x \leq 50} $$ ### **(2)** 使运输成本最少的航行速度为： $$ \boxed{40} \text{ 海里/小时} $$

解析

考查要点：本题主要考查函数建模与利用导数求解最优化问题。
解题思路：

  1. 函数建模：根据题目条件，将运输成本分解为燃料费用和其他费用，结合航行时间建立总成本函数。
  2. 最优化：通过求导找到函数极值点，结合实际意义验证最小值。
    关键点：
  • 燃料费用与速度的关系：需通过已知条件确定比例系数$k$。
  • 总成本的构成：需明确总成本是每小时总费用与航行时间的乘积。
  • 导数的应用：通过求导找到极值点，并判断其是否为最小值。

第（1）题：建立运输成本函数

确定燃料费用系数$k$

已知燃料费用$w = kx^2$，当$x = 30$时，$w = 450$元/小时：
$450 = k \cdot 30^2 \implies k = \frac{450}{900} = 0.5$
因此，燃料费用为：
$w = 0.5x^2 \quad \text{（元/小时）}$

计算总成本函数

  1. 航行时间：从甲地到乙地的时间为：
    $t = \frac{300}{x} \quad \text{（小时）}$
  2. 每小时总费用：燃料费用加其他费用：
    $\text{每小时总费用} = 0.5x^2 + 800 \quad \text{（元/小时）}$
  3. 总运输成本：
    $y = \left(0.5x^2 + 800\right) \cdot \frac{300}{x} = 300 \left(0.5x + \frac{800}{x}\right)$
    最终函数为：
    $y(x) = 300 \left(0.5x + \frac{800}{x}\right), \quad 0 < x \leq 50$

第（2）题：求最小运输成本的速度

求导找极值点

对$y(x)$求导并令导数为0：
$\frac{dy}{dx} = 300 \left(0.5 - \frac{800}{x^2}\right) = 0 \implies 0.5 = \frac{800}{x^2} \implies x^2 = 1600 \implies x = 40$

判断极值性质

  1. 二阶导数：
    $\frac{d^2y}{dx^2} = 300 \cdot \frac{1600}{x^3} > 0 \quad (x > 0)$
    说明$x = 40$是极小值点。
  2. 边界比较：
    • 当$x \to 0^+$时，$y(x) \to +\infty$；
    • 当$x = 50$时，计算得$y(50) = 300 \left(0.5 \cdot 50 + \frac{800}{50}\right) = 9900$元，大于$y(40) = 9600$元。
      因此，最小值出现在$x = 40$。