题目

4.设A=(a_(ij))为3阶矩阵，A_(ij)表示A中(i,j)元的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=2，则A_(11)+A_(21)+A_(31)=____.

4.设$A=(a_{ij})$为3阶矩阵，$A_{ij}$表示A中(i,j)元的代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=2，则$A_{11}+A_{21}+A_{31}=$____.

题目解答

答案

由题意，矩阵 $A$ 的每行元素之和为 2，即 $a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2$（$i=1,2,3$）。根据代数余子式性质，有： \[ a_{1j}A_{11} + a_{2j}A_{21} + a_{3j}A_{31} = \begin{cases} |A| = 2, & j=1 \\ 0, & j=2,3 \end{cases} \] 将 $j=1,2,3$ 的三式相加，得： \[ (a_{11} + a_{12} + a_{13})A_{11} + (a_{21} + a_{22} + a_{23})A_{21} + (a_{31} + a_{32} + a_{33})A_{31} = 2 + 0 + 0 \] 即： \[ 2(A_{11} + A_{21} + A_{31}) = 2 \] 解得： \[ A_{11} + A_{21} + A_{31} = 1 \] **答案：** $\boxed{1}$

解析

本题考查矩阵代数余子式的性质。解题的关键思路是利用矩阵每行元素之和的条件以及代数余子式的性质来建立等式，从而求解$A_{11}+A_{21}+A_{31}$的值。

  1. 已知矩阵$A=(a_{ij})$为$3$阶矩阵，且$A$的每行元素之和均为$2$，即$a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2$（$i = 1,2,3$）。
  2. 根据代数余子式的性质：对于$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$，有$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots +a_{in}A_{jn}=\begin{cases}|A|, & i = j\\0, & i\neq j\end{cases}$。对于本题的$3$阶矩阵$A$，则有$a_{1j}A_{11} + a_{2j}A_{21} + a_{3j}A_{31} = \begin{cases} |A| = 2, & j = 1 \\ 0, & j = 2,3 \end{cases}$。
  3. 当$j = 1$时，$a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}=|A| = 2$；当$j = 2$时，$a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31}=0$；当$j = 3$时，$a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31}=0$。
  4. 将$j = 1,2,3$对应的三个等式相加，可得：
    • $(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31})+(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31})+(a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31})=2 + 0 + 0$。
    • 对上式进行整理，根据乘法分配律可得$(a_{11} + a_{12} + a_{13})A_{11} + (a_{21} + a_{22} + a_{23})A_{21} + (a_{31} + a_{32} + a_{33})A_{31} = 2$。
  5. 因为$a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 2$（$i = 1,2,3$），所以上式可化为$2(A_{11} + A_{21} + A_{31}) = 2$。
  6. 求解$A_{11} + A_{21} + A_{31}$，等式两边同时除以$2$，可得$A_{11} + A_{21} + A_{31} = 1$。