题目
3.[单选题]矩阵 A=(}1&1&11&1&11&1&1) 的非零特征值为()。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.[单选题]矩阵 $A=\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)$ 的非零特征值为()。
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
题目解答
答案
为了找到矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ 的非零特征值，我们首先需要确定矩阵 $ A $ 的特征值。矩阵 $ A $ 的特征值是特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的解，其中 $ I $ 是单位矩阵，$ \lambda $ 是特征值。
首先，我们写出矩阵 $ A - \lambda I $：
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \]
接下来，我们计算 $ A - \lambda I $ 的行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \]
我们可以使用行列式的性质来简化计算。从第二行和第三行中减去第一行：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda & \lambda - 1 \\ 0 & \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} \]
现在，按第一行展开行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} \]
计算 2x2 行列式：
\[ \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (\lambda - 1)(\lambda - 1) = \lambda^2 - (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 2\lambda - 1 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = 0 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 0 \]
将这些值代回行列式表达式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(2\lambda - 1) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 = -(\lambda - 3)\lambda^2 \]
因此，特征方程为：
\[ -(\lambda - 3)\lambda^2 = 0 \]
特征值的解为：
\[ \lambda = 3, \lambda = 0, \lambda = 0 \]
矩阵 $ A $ 的非零特征值为 $ 3 $。
因此，正确答案是：
\[ \boxed{B} \]
解析
步骤 1：计算矩阵 $A$ 的特征多项式
为了找到矩阵 $A$ 的特征值，我们需要计算矩阵 $A$ 的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式得到的，其中 $I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。矩阵 $A - \lambda I$ 如下所示：
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
接下来，我们计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \]
步骤 3：简化行列式计算
为了简化行列式的计算，我们可以使用行列式的性质。从第二行和第三行中减去第一行：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda & \lambda - 1 \\ 0 & \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} \]
步骤 4：按第一行展开行列式
现在，按第一行展开行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} \]
步骤 5：计算 2x2 行列式
计算 2x2 行列式：
\[ \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (\lambda - 1)(\lambda - 1) = \lambda^2 - (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 2\lambda - 1 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = 0 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 0 \]
步骤 6：代回行列式表达式
将这些值代回行列式表达式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(2\lambda - 1) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 = -(\lambda - 3)\lambda^2 \]
步骤 7：求解特征方程
特征方程为：
\[ -(\lambda - 3)\lambda^2 = 0 \]
特征值的解为：
\[ \lambda = 3, \lambda = 0, \lambda = 0 \]
步骤 8：确定非零特征值
矩阵 $A$ 的非零特征值为 $3$。
为了找到矩阵 $A$ 的特征值，我们需要计算矩阵 $A$ 的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式得到的，其中 $I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。矩阵 $A - \lambda I$ 如下所示：
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
接下来，我们计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \]
步骤 3：简化行列式计算
为了简化行列式的计算，我们可以使用行列式的性质。从第二行和第三行中减去第一行：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & -\lambda & \lambda - 1 \\ 0 & \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} \]
步骤 4：按第一行展开行列式
现在，按第一行展开行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} \]
步骤 5：计算 2x2 行列式
计算 2x2 行列式：
\[ \begin{vmatrix} -\lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & -\lambda \end{vmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (\lambda - 1)(\lambda - 1) = \lambda^2 - (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 2\lambda - 1 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & \lambda - 1 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = 0 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = 0 \]
步骤 6：代回行列式表达式
将这些值代回行列式表达式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(2\lambda - 1) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 1 = -(\lambda - 3)\lambda^2 \]
步骤 7：求解特征方程
特征方程为：
\[ -(\lambda - 3)\lambda^2 = 0 \]
特征值的解为：
\[ \lambda = 3, \lambda = 0, \lambda = 0 \]
步骤 8：确定非零特征值
矩阵 $A$ 的非零特征值为 $3$。