题目
假设随机变量X服从参数为2的指数分布。证明Y=1-e^-2X在区间(0,1)上服从均匀分布。
假设随机变量X服从参数为2的指数分布。证明$$Y=1-e^{-2X}$$在区间(0,1)上服从均匀分布。
题目解答
答案
设X的分布函数为$$F(X)$$,Y的分布函数为$$G(Y)$$.
因为X服从参数为2的指数分布，
所以X的分布函数为：
$$F(x)=\cases { 1-e^{-2x},x>0\cr 0,x\leqslant 0\cr}$$
又函数$$y=1-e^{-2x}$$在区间(0,1)内单调递增，
故 $$0
且其反函数为：$$x=-\frac{1}{2}ln(1-y)$$,
于是，$$Y=1-e^{-2X}$$在(0,1)的分布函数为：
$$G(Y)=P(Y\leqslant y)$$
$$=P(1-e^{-2x}\leqslant y)$$
$$=\cases { 0,y\leqslant 0\cr 1-e^{(-2)[-\frac{1}{2}ln(1-y) ]},0
$$=\cases { 0,y\leqslant 1\cr y,0
故Y是(0,1)区间上的均匀分布。
解析
步骤 1：确定X的分布函数
因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为：
$$F(x)=\cases { 1-e^{-2x},x>0\cr 0,x\leqslant 0\cr}$$
步骤 2：确定Y的分布函数
因为函数$$y=1-e^{-2x}$$在区间(0,1)内单调递增，所以当$$0步骤 3：计算Y的分布函数
$$Y=1-e^{-2X}$$在(0,1)的分布函数为：
$$G(Y)=P(Y\leqslant y)$$
$$=P(1-e^{-2x}\leqslant y)$$
$$=\cases { 0,y\leqslant 0\cr 1-e^{(-2)[-\frac{1}{2}ln(1-y) ]},0$$=\cases { 0,y\leqslant 0\cr y,0
因为X服从参数为2的指数分布，所以X的分布函数为：
$$F(x)=\cases { 1-e^{-2x},x>0\cr 0,x\leqslant 0\cr}$$
步骤 2：确定Y的分布函数
因为函数$$y=1-e^{-2x}$$在区间(0,1)内单调递增，所以当$$0
$$Y=1-e^{-2X}$$在(0,1)的分布函数为：
$$G(Y)=P(Y\leqslant y)$$
$$=P(1-e^{-2x}\leqslant y)$$
$$=\cases { 0,y\leqslant 0\cr 1-e^{(-2)[-\frac{1}{2}ln(1-y) ]},0