2． 下列命题中正确的是()A. 若 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f′(x0)=0B. 若 f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C. 若 f′(x0)=0，则 x0 必是 f(x)的极值点D. 若 f(x)在点 x0 处可导，且点 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f′(x0)=0

本题考查函数极值点与导数的关系，解题的关键在于准确理解极值点的定义以及导数在极值点处的性质，通过对每个选项依据相关概念进行分析判断。

• 选项A：
  • 若$x_0$是$f(x)$的极值点，不一定有$f^\prime(x_0)=0$。
  • 例如函数$f(x)=\vert x\vert$，在$x = 0$处取得极小值，因为当$x\lt0$时，$f(x)= -x$，$f^\prime(x)= -1$；当$x\gt0$时，$f(x)= x$，$f^\prime(x)= 1$，在$x = 0$处导数不存在，但$x = 0$是极值点。所以该选项错误。
• 选项B：
  • 函数在$(a,b)$内的极大值不一定大于极小值。
  • 例如函数$f(x)=(x - 1)^2(x + 1)^2$，对其求导，根据乘法求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，设$u=(x - 1)^2$，$v=(x + 1)^2$，则$u^\prime = 2(x - 1)$，$v^\prime = 2(x + 1)$，可得$f^\prime(x)=2(x - 1)(x + 1)^2 + 2(x - 1)^2(x + 1)=2(x - 1)(x + 1)(x + 1 + x - 1)=4x(x^2 - 1)$。
  • 令$f^\prime(x)=0$，即$4x(x^2 - 1)=0$，解得$x = 0$，$x = 1$，$x = -1$。
  • 当$x\lt -1$时，$f^\prime(x)\lt0$，函数单调递减；当$-1\lt x\lt0$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数单调递增；当$0\lt x\lt1$时，$f^\prime(x)\lt0$，函数单调递减；当$x\gt1$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数单调递增。
  • 所以$x = -1$和$x = 1$为极小值点，$x = 0$为极大值点，$f(0)=1$，$f(\pm1)=0$，极大值$1$大于极小值$0$；但如果函数的极大值点和极小值点分布情况不同，极大值可能小于极小值。所以该选项错误。
• 选项C：
  • 若$f^\prime(x_0)=0$，$x_0$不一定是$f(x)$的极值点。
  • 例如函数$f(x)=x^3$，对其求导得$f^\prime(x)=3x^2$，令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2 = 0$，解得$x = 0$。
  • 当$x\lt0$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数单调递增；当$x\gt0$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数也单调递增，所以$x = 0$不是极值点。所以该选项错误。
• 选项D：
  • 根据费马定理，如果函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，那么$f^\prime(x_0)=0$。所以该选项正确。