题目
设X的密度函数为f(x)= ) 3(x)^2,0leqslant xleqslant 1 0, .分布函数为F(x)，求:(1)Y=2X+1的密度; (2)P(Y>2) ;
设X的密度函数为
分布函数为F(x)，求:(1)Y=2X+1的密度; (2)P(Y>2) ;
题目解答
答案
（1）
（2）
解析
步骤 1：求Y的分布函数
- 由于Y=2X+1，我们首先需要求出Y的分布函数${F}_{Y}(y)$。根据分布函数的定义，${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)$。将Y=2X+1代入，得到${F}_{Y}(y)=P(2X+1\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-1}{2})$。由于X的分布函数为$F(x)$，因此${F}_{Y}(y)=F(\dfrac{y-1}{2})$。
步骤 2：求Y的密度函数
- 密度函数是分布函数的导数，因此${f}_{Y}(y)={F}_{Y}'(y)={F}'(\dfrac{y-1}{2})\cdot \dfrac{1}{2}$。由于X的密度函数为$f(x)=3x^2$，因此${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{2}\cdot 3(\dfrac{y-1}{2})^2$。化简得到${f}_{Y}(y)=\dfrac{3}{8}(y-1)^2$。
步骤 3：求P(Y>2)
- 根据密度函数，$P(Y>2)={\int }_{2}^{3}\dfrac{3}{8}(y-1)^2dy$。计算积分得到$P(Y>2)=\dfrac{7}{8}$。
- 由于Y=2X+1，我们首先需要求出Y的分布函数${F}_{Y}(y)$。根据分布函数的定义，${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)$。将Y=2X+1代入，得到${F}_{Y}(y)=P(2X+1\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-1}{2})$。由于X的分布函数为$F(x)$，因此${F}_{Y}(y)=F(\dfrac{y-1}{2})$。
步骤 2：求Y的密度函数
- 密度函数是分布函数的导数，因此${f}_{Y}(y)={F}_{Y}'(y)={F}'(\dfrac{y-1}{2})\cdot \dfrac{1}{2}$。由于X的密度函数为$f(x)=3x^2$，因此${f}_{Y}(y)=\dfrac{1}{2}\cdot 3(\dfrac{y-1}{2})^2$。化简得到${f}_{Y}(y)=\dfrac{3}{8}(y-1)^2$。
步骤 3：求P(Y>2)
- 根据密度函数，$P(Y>2)={\int }_{2}^{3}\dfrac{3}{8}(y-1)^2dy$。计算积分得到$P(Y>2)=\dfrac{7}{8}$。