题目
向量组 alpha_1=(1,1,1)^T, alpha_2=(1,2,3)^T, alpha_3=(1,3,4)^T的线性关系为()A. 线性相关B. 线性无关C. 以上答案都不对
向量组 $\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(1,2,3)^T, \alpha_3=(1,3,4)^T$的线性关系为()
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 以上答案都不对
题目解答
答案
B. 线性无关
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$，其中每一列对应一个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$，以判断向量组的线性关系。行列式计算如下：
\[ \det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 4 - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (8 - 9) - 1 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (3 - 2) \]
\[ = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \]
\[ = -1 - 1 + 1 \]
\[ = -1 \]
步骤 3：判断线性关系
由于 $\det(A) = -1 \neq 0$，矩阵 $A$ 可逆，因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$，其中每一列对应一个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$，以判断向量组的线性关系。行列式计算如下：
\[ \det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 4 - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (8 - 9) - 1 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (3 - 2) \]
\[ = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \]
\[ = -1 - 1 + 1 \]
\[ = -1 \]
步骤 3：判断线性关系
由于 $\det(A) = -1 \neq 0$，矩阵 $A$ 可逆，因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。