题目

微分方程((y)^2+2)dx+y((x)^2+1)dy=0的通解为( )((y)^2+2)dx+y((x)^2+1)dy=0((y)^2+2)dx+y((x)^2+1)dy=0((y)^2+2)dx+y((x)^2+1)dy=0((y)^2+2)dx+y((x)^2+1)dy=0

微分方程 $x(y^2+2)dx+y(x^2+1)dy=0$ 的通解为( )

$A.2(y^2+2)(x^2+1)=C$

$B.(y^2-2)(x^2+1)=C$

$C.(y+2)(x+1)=C$

$D.(y^2+2)(x^2+1)=C$

题目解答

微分方程 $x(y^2+2)dx+y(x^2+1)dy=0$

分离变量可得：

$\frac{xdx}{x^2+1}=-\frac{ydy}{y^2+2}$

两边凑微分：

$\frac{\frac{1}{2}d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=-\frac{\frac{1}{2}d\left(y^2+2\right)}{y^2+2}$

两边积分可得：

$\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(y^2+2\right)+C$

化简可得：

$\left(x^2+1\right)\left(y^2+2\right)=C$

∴此题选择： $D$ .