题目
设曲面s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)，则下列说法不正确的是（ ）（A）曲面S在s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)处切平面方程为s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)（B）曲面S在s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)处的法矢量为s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)（C）曲面S在s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)处切平面的三个截距之和为a（D）曲面S在s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)处切平面在x轴截距为s sqrt (x)+sqrt (2y)+sqrt (3z)=sqrt (a)(agt 0)
设曲面
，则下列说法不正确的是（ ）
（A）曲面S在
处切平面方程为
（B）曲面S在处的法矢量为
（C）曲面S在处切平面的三个截距之和为a
（D）曲面S在处切平面在x轴截距为
题目解答
答案
选C
令
，
分别关于x,y,z求偏导得，
∴曲面S在处的切平面方程为：
曲面S在处的法矢量为：
，故选项A、B正确
令
，得切平面在x轴截距为：
，故选项D正确
令
，得切平面在z轴截距为：
令
，得切平面在y轴截距为：
∴曲面S在处切平面的三个截距之和为：
，故C错
解析
步骤 1：定义函数并求偏导数
令$F(x,y,z)=\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z}-\sqrt {a}$，则曲面S可以表示为$F(x,y,z)=0$。分别对x,y,z求偏导数，得到：
${F}_{x}=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$，${F}_{y}=\dfrac {\sqrt {2}}{2\sqrt {y}}=\dfrac {1}{\sqrt {2y}}$，${F}_{z}=\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\sqrt {z}}$。
步骤 2：确定切平面方程和法矢量
曲面S在点$({2}^{6}{x}^{6}x)$处的切平面方程为：
$\dfrac {1}{2\sqrt {x}}(X-x)+\dfrac {1}{\sqrt {2y}}(Y-y)+\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}(Z-z)=0$。
曲面S在点$({2}^{6}{x}^{6}x)$处的法矢量为：
$z=\{ \dfrac {1}{2\sqrt {x}},\dfrac {1}{\sqrt {2y}},\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}\} $。
步骤 3：计算切平面的截距
令Y,Z=0，得切平面在x轴截距为：
$X=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot 2\sqrt {x}=\sqrt {ax}$。
令$={x}^{6}x$，得切平面在z轴截距为：
$z=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2\sqrt {z}}=\dfrac {1}{3}\sqrt {3az}$。
令X, Z=0，得切平面在y轴截距为：
$x=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2y}}=\dfrac {1}{2}\sqrt {2ay}$。
步骤 4：计算切平面的三个截距之和
曲面S在$({2}^{6}{x}^{6}x)$处切平面的三个截距之和为：
$\sqrt {a}(\sqrt {x}+\dfrac {1}{3}\sqrt {3z}+\dfrac {1}{2}\sqrt {2y})$，故C错。
令$F(x,y,z)=\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z}-\sqrt {a}$，则曲面S可以表示为$F(x,y,z)=0$。分别对x,y,z求偏导数，得到：
${F}_{x}=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$，${F}_{y}=\dfrac {\sqrt {2}}{2\sqrt {y}}=\dfrac {1}{\sqrt {2y}}$，${F}_{z}=\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}=\dfrac {\sqrt {3}}{2\sqrt {z}}$。
步骤 2：确定切平面方程和法矢量
曲面S在点$({2}^{6}{x}^{6}x)$处的切平面方程为：
$\dfrac {1}{2\sqrt {x}}(X-x)+\dfrac {1}{\sqrt {2y}}(Y-y)+\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}(Z-z)=0$。
曲面S在点$({2}^{6}{x}^{6}x)$处的法矢量为：
$z=\{ \dfrac {1}{2\sqrt {x}},\dfrac {1}{\sqrt {2y}},\dfrac {3}{2\sqrt {3}z}\} $。
步骤 3：计算切平面的截距
令Y,Z=0，得切平面在x轴截距为：
$X=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot 2\sqrt {x}=\sqrt {ax}$。
令$={x}^{6}x$，得切平面在z轴截距为：
$z=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2\sqrt {z}}=\dfrac {1}{3}\sqrt {3az}$。
令X, Z=0，得切平面在y轴截距为：
$x=\dfrac {1}{2}(\sqrt {x}+\sqrt {2y}+\sqrt {3z})\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2y}}=\dfrac {1}{2}\sqrt {2ay}$。
步骤 4：计算切平面的三个截距之和
曲面S在$({2}^{6}{x}^{6}x)$处切平面的三个截距之和为：
$\sqrt {a}(\sqrt {x}+\dfrac {1}{3}\sqrt {3z}+\dfrac {1}{2}\sqrt {2y})$，故C错。