设 u = arcsin (x)/(sqrt(x^2 + y^2)) 则 (partial u)/(partial x) = ____。A. (|x|)/(x^2 + y^2)B. (-|y|)/(x^2 + y^2)C. (|y|)/(x^2 + y^2)D. (-|x|)/(x^2 + y^2)

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，涉及反三角函数的导数公式、链式法则以及分式函数的求导技巧。

解题核心思路：

1. 识别复合结构：将函数分解为外层函数 $u = \arcsin z$ 和内层函数 $z = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
2. 应用链式法则：先对外层函数求导，再对内层函数求偏导，最后相乘。
3. 化简表达式：注意处理平方根和绝对值符号，确保符号正确。

破题关键点：

• 导数公式：$\frac{d}{dz} \arcsin z = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}$。
• 分式求导：对 $z = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 求偏导时，需正确应用商的导数法则。
• 绝对值处理：$\sqrt{y^2} = |y|$，需保留绝对值符号。

设 $z = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，则 $u = \arcsin z$。根据链式法则：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$

步骤1：计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot 1 - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2} = \frac{y^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$

步骤2：计算 $\frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}$
$1 - z^2 = \frac{y^2}{x^2 + y^2} \implies \sqrt{1 - z^2} = \frac{|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} \implies \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|y|}$

步骤3：相乘得最终结果
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|y|} \cdot \frac{y^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{|y|}{x^2 + y^2}$