题目
若方阵A 与 B 相似则下列说法正确的个数（C）1、^-1与^-1相似2、^-13、A , B 有相同的特征值4、^-1与^-1相似A、1B、2C、3D、4
若方阵A 与 B 相似则下列说法正确的个数（C）
1、
与
相似
2、
3、A , B 有相同的特征值
4、
与
相似
A、1
B、2
C、3
D、4
题目解答
答案
已知方阵A 与 B 相似
则有
若A，B可逆，则与相似；
A，B有相同的特征值，也就是；
与相似；
因此，选项1错误，选项2，3，4正确
故正确答案为C
解析
步骤 1：理解相似矩阵的定义
两个方阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项1
若A和B可逆，则${A}^{-1}$与${B}^{-1}$相似。因为$B = P^{-1}AP$，所以${B}^{-1} = P^{-1}{A}^{-1}P$，这表明${A}^{-1}$与${B}^{-1}$相似。但前提是A和B都可逆，所以这个选项不一定总是正确的。
步骤 3：分析选项2
相似矩阵有相同的行列式值。因为$B = P^{-1}AP$，所以$|B| = |P^{-1}AP| = |P^{-1}||A||P| = |A|$，所以选项2正确。
步骤 4：分析选项3
相似矩阵有相同的特征值。因为$B = P^{-1}AP$，所以$|B - \lambda I| = |P^{-1}AP - \lambda I| = |P^{-1}(A - \lambda I)P| = |A - \lambda I|$，所以选项3正确。
步骤 5：分析选项4
相似矩阵的转置也相似。因为$B = P^{-1}AP$，所以$B^T = (P^{-1}AP)^T = P^TA^T(P^{-1})^T$，所以$A^T$与$B^T$相似。所以选项4正确。
两个方阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项1
若A和B可逆，则${A}^{-1}$与${B}^{-1}$相似。因为$B = P^{-1}AP$，所以${B}^{-1} = P^{-1}{A}^{-1}P$，这表明${A}^{-1}$与${B}^{-1}$相似。但前提是A和B都可逆，所以这个选项不一定总是正确的。
步骤 3：分析选项2
相似矩阵有相同的行列式值。因为$B = P^{-1}AP$，所以$|B| = |P^{-1}AP| = |P^{-1}||A||P| = |A|$，所以选项2正确。
步骤 4：分析选项3
相似矩阵有相同的特征值。因为$B = P^{-1}AP$，所以$|B - \lambda I| = |P^{-1}AP - \lambda I| = |P^{-1}(A - \lambda I)P| = |A - \lambda I|$，所以选项3正确。
步骤 5：分析选项4
相似矩阵的转置也相似。因为$B = P^{-1}AP$，所以$B^T = (P^{-1}AP)^T = P^TA^T(P^{-1})^T$，所以$A^T$与$B^T$相似。所以选项4正确。