题目

求方程=dfrac (1)(3)(e)^x根的牛顿迭代格式为=dfrac (1)(3)(e)^x=dfrac (1)(3)(e)^x=dfrac (1)(3)(e)^x=dfrac (1)(3)(e)^x

求方程 $x=\frac{1}{3}e^x$ 根的牛顿迭代格式为

$A.x_{k+1}=x_k-\frac{1-\frac{1}{3}e^{x_k}}{x_k-\frac{1}{3}e^{x_k}}$

$B.x_{k+1}=x_k-\frac{x_k-\frac{1}{3}e^{x_k}}{1-\frac{1}{3}e^{x_k}}$

$C.x_{k+1}=x_k-\frac{x_k-\frac{1}{3}e^{x_k}}{-\frac{1}{3}e^{x_k}}$

$D.x_{k+1}=\frac{x_k-\frac{1}{3}e^{x_k}}{1-\frac{1}{3}e^{x_k}}$

题目解答

答案

将方程 $x=\frac{1}{3}e^x$ 变形为 $f(x)=x-\frac{1}{3}e^x=0$

则 $f'(x)=1-\frac{1}{3}e^x$

牛顿迭代格式为 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

即 $x_{k+1}=x_k-\frac{x_k-\frac{1}{3}e^{x_k}}{1-\frac{1}{3}e^{x_k}}$

答案：B.

解析

步骤 1：将方程变形为$f(x)=0$的形式
将方程$x=\dfrac {1}{3}{e}^{x}$变形为$f(x)=x-\dfrac {1}{3}{e}^{x}=0$，这是为了应用牛顿迭代法。
步骤 2：计算$f(x)$的导数
计算$f(x)$的导数$f'(x)=1-\dfrac {1}{3}{e}^{x}$。
步骤 3：应用牛顿迭代法
牛顿迭代法的迭代格式为${y}_{k+1}={x}_{k}-\dfrac {f({x}_{k})}{f'({x}_{k})}$，将$f(x)$和$f'(x)$代入，得到${x}_{k+1}={x}_{k}-\dfrac {{x}_{k}-\dfrac {1}{3}{e}^{x}k}{1-\dfrac {1}{3}{e}^{x}k}$。