已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　） A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当∠PBA最小时，|PB|=3sqrt(2) D. 当∠PBA最大时，|PB|=3sqrt(2)

考查要点：本题综合考查圆与直线的位置关系、点到直线的距离、几何最值问题及视角角的极值分析。

解题核心思路：

1. 直线方程与圆心到直线距离：确定直线AB的方程，计算圆心到直线的距离，判断圆与直线的位置关系，从而得到点P到直线AB的距离范围。
2. 几何最值分析：利用圆心到直线的距离与半径的关系，推导点P到直线AB的距离的取值范围，判断选项A、B的正确性。
3. 视角角的极值与切线性质：当∠PBA达到极值时，点P位于圆的切点，利用切线长公式计算|PB|的长度，判断选项C、D的正确性。

破题关键点：

• 圆心到直线距离的计算：确定圆与直线相离，点P到直线的距离范围为$[d-r, d+r]$。
• 切线性质的应用：当∠PBA为极值时，BP为圆的切线，切线长公式$|PB| = \sqrt{|BC|^2 - r^2}$（C为圆心）。

直线AB的方程与圆心到直线距离

1. 直线方程：
   由点A(4,0)和B(0,2)，得直线AB的截距式方程为$\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$，化简为$x + 2y - 4 = 0$。
2. 圆心到直线距离：
   圆心为(5,5)，代入点到直线距离公式：
   $d = \frac{|1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{11}{\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{5} \approx 4.916$
   由于$d > 4$（半径），圆与直线相离。

点P到直线AB的距离范围

• 距离范围：
  点P到直线AB的距离范围为$[d - r, d + r] = \left[\frac{11\sqrt{5}}{5} - 4, \frac{11\sqrt{5}}{5} + 4\right]$。
  计算得$\frac{11\sqrt{5}}{5} \approx 4.916$，故最小值约为$0.916$，最大值约为$8.916$。
  结论：选项A正确（距离小于10），选项B错误（存在距离小于2的情况）。

视角角∠PBA的极值分析

1. 极值条件：
   当∠PBA为极值时，点P位于圆的切点（BP为切线）。此时，圆心到B点的距离为：
   $|BC| = \sqrt{(5-0)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{34}$
   切线长公式为：
   $|PB| = \sqrt{|BC|^2 - r^2} = \sqrt{34 - 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
2. 极值对应选项：
   • 当∠PBA最小时，点P为切点P₁，此时$|PB| = 3\sqrt{2}$（选项C正确）。
   • 当∠PBA最大时，点P为另一切点P₂，此时$|PB| = 3\sqrt{2}$（选项D正确）。