题目
设二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 N(0,−1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 () A. X 与 Y 相互独立 B. aX+bY 服从正态分布 C. P(X−Y<1)=12 D. P(X+Y<1)=12
设二维随机变量
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
∵二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布N(0，-1，1，4，0)，
∴X～N(0，1)，Y～N(-1，4)，ρ XY=0
而正态分布里，不相关与独立是等价的
∴X与Y相互独立
故A正确．
由于正态分布的线性组合，依然是正态分布
∴aX+bY服从正态分布
故B正确．
∵EX=0，EY=-1
∴E(X-Y)=EX-EY=1，E(X+Y)=EX+EY=-1
∴由正态分布的性质知，在其数学期望左右两侧取值的概率为
∴P(X-Y＜1)=
，P(X+Y＜-1)=
故C正确，D错误．
故选：D．
∴X～N(0，1)，Y～N(-1，4)，ρ XY=0
而正态分布里，不相关与独立是等价的
∴X与Y相互独立
故A正确．
由于正态分布的线性组合，依然是正态分布
∴aX+bY服从正态分布
故B正确．
∵EX=0，EY=-1
∴E(X-Y)=EX-EY=1，E(X+Y)=EX+EY=-1
∴由正态分布的性质知，在其数学期望左右两侧取值的概率为
| 1 |
| 2 |
∴P(X-Y＜1)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故C正确，D错误．
故选：D．
解析
步骤 1：分析二维正态分布的性质
二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 N(0,−1,1,4,0)，其中均值分别为 0 和 -1，方差分别为 1 和 4，协方差为 0。这意味着 X 和 Y 是独立的正态分布，且它们的协方差为 0，即不相关。
步骤 2：判断 X 与 Y 的独立性
由于 X 和 Y 的协方差为 0，且它们都是正态分布，因此 X 和 Y 相互独立。所以选项 A 正确。
步骤 3：判断 aX+bY 的分布
由于 X 和 Y 都是正态分布，且它们的线性组合 aX+bY 也服从正态分布。所以选项 B 正确。
步骤 4：计算 P{X−Y<1}
由于 X 和 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～N(-1,4)，则 X-Y 服从 N(1,5)。因此 P{X−Y<1} 等于 P{X−Y
步骤 5：计算 P{X+Y<1}
由于 X 和 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～N(-1,4)，则 X+Y 服从 N(-1,5)。因此 P{X+Y<1} 不等于 P{X+Y
二维随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 N(0,−1,1,4,0)，其中均值分别为 0 和 -1，方差分别为 1 和 4，协方差为 0。这意味着 X 和 Y 是独立的正态分布，且它们的协方差为 0，即不相关。
步骤 2：判断 X 与 Y 的独立性
由于 X 和 Y 的协方差为 0，且它们都是正态分布，因此 X 和 Y 相互独立。所以选项 A 正确。
步骤 3：判断 aX+bY 的分布
由于 X 和 Y 都是正态分布，且它们的线性组合 aX+bY 也服从正态分布。所以选项 B 正确。
步骤 4：计算 P{X−Y<1}
由于 X 和 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～N(-1,4)，则 X-Y 服从 N(1,5)。因此 P{X−Y<1} 等于 P{X−Y
步骤 5：计算 P{X+Y<1}
由于 X 和 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～N(-1,4)，则 X+Y 服从 N(-1,5)。因此 P{X+Y<1} 不等于 P{X+Y