求极限lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(sin x)-dfrac (1)(x)) ()-|||-__ __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换、洛必达法则以及分式的化简技巧。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将$\cot x$写成$\frac{\cos x}{\sin x}$，并通分括号内的部分，得到统一的分式形式。
2. 替换等价无穷小：利用$\sin x \sim x$（当$x \to 0$时），简化分母中的$\sin^2 x$为$x^2$。
3. 处理分子$x - \sin x$：通过泰勒展开或洛必达法则，将$x - \sin x$转化为更高阶的无穷小，最终结合分母$x^3$求极限。

破题关键点：

• 识别分式结构，通过通分将复杂表达式转化为可处理的形式。
• 灵活应用等价无穷小替换，简化计算步骤。
• 多次使用洛必达法则，解决$\frac{0}{0}$型不定式。

原式化简：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}\cot x\left(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {1}{x}\right) &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \left(\dfrac{x - \sin x}{x \sin x}\right) \\&= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x \cdot (x - \sin x)}{x \sin^2 x}.\end{aligned}$

等价无穷小替换：
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\cos x \sim 1$，因此分子$\cos x \cdot (x - \sin x) \sim x - \sin x$，分母$x \sin^2 x \sim x \cdot x^2 = x^3$，即：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}.$

泰勒展开或洛必达法则：

1. 泰勒展开：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，故$x - \sin x = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，代入得：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6}.$
2. 洛必达法则（两次应用）：
   $\begin{aligned} \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3} &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{1 - \cos x}{3x^2} \quad (\text{第一次求导}) \\ &= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{6x} \quad (\text{第二次求导}) \\ &= \dfrac{1}{6}. \end{aligned}$