11.lim_(xto0)(sqrt(1+2x)-sqrt[3](1+3x))/(ln(1+x^2))=_.

将原式中分子和分母分别进行等价无穷小替换。 分子部分： \[ \sqrt{1+2x} - \sqrt[3]{1+3x} = (1+2x)^{1/2} - (1+3x)^{1/3} \] 利用泰勒展开，当 $x \to 0$ 时， \[ (1+2x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 2x = 1 + x, \] \[ (1+3x)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot 3x = 1 + x. \] 因此， \[ \sqrt{1+2x} - \sqrt[3]{1+3x} \approx (1 + x) - (1 + x) = 0. \] 这表明需要更高阶的展开。 进一步展开： \[ (1+2x)^{1/2} \approx 1 + x - \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x)^2}{2} = 1 + x - x^2, \] \[ (1+3x)^{1/3} \approx 1 + x - \frac{1}{2} \cdot \frac{(3x)^2}{3} = 1 + x - \frac{3x^2}{2}. \] 相减得： \[ \sqrt{1+2x} - \sqrt[3]{1+3x} \approx (1 + x - x^2) - (1 + x - \frac{3x^2}{2}) = \frac{x^2}{2}. \] 分母部分： \[ \ln(1+x^2) \sim x^2 \quad (x \to 0). \] 因此，原式为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}. \] 最终答案为： \[ \boxed{\frac{1}{2}}. \]