函数y=sqrt((x-1)/((x-3)(x-4)))在x=5处的导数为（ ）A. (7)/(8)sqrt(2)B. -(7)/(8)sqrt(2)C. (5)/(8)sqrt(2)D. -(5)/(8)sqrt(2)

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，涉及链式法则和商的导数法则的应用，以及代数式的化简能力。

解题核心思路：

1. 识别复合结构：函数是平方根形式，内部为分式函数，需先对分式函数求导，再结合链式法则求外层导数。
2. 分步计算：先求分式函数的导数，再代入链式法则公式，最后代入具体值计算。
3. 代数化简：注意分式化简和符号处理，避免计算错误。

破题关键点：

• 正确应用商的导数公式，准确展开并化简分子表达式。
• 代入x=5时，注意分母平方的计算和符号处理。

步骤1：求分式函数的导数

设分式函数为$f(x) = \frac{x-1}{(x-3)(x-4)}$，根据商的导数法则：
$f'(x) = \frac{(1)(x-3)(x-4) - (x-1)(2x-7)}{(x-3)^2(x-4)^2}$

分子展开：

1. $(x-3)(x-4) = x^2 -7x +12$
2. $(x-1)(2x-7) = 2x^2 -9x +7$
3. 分子化简：$x^2 -7x +12 - (2x^2 -9x +7) = -x^2 +2x +5$

因此：
$f'(x) = \frac{-x^2 +2x +5}{(x-3)^2(x-4)^2}$

步骤2：应用链式法则求导

函数$y = \sqrt{f(x)}$，其导数为：
$y' = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$

步骤3：代入x=5计算

1. 计算$f(5)$：
   $f(5) = \frac{5-1}{(5-3)(5-4)} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$
2. 计算$\frac{1}{2\sqrt{f(5)}}$：
   $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
3. 计算$f'(5)$：
   $f'(5) = \frac{-(5)^2 +2 \cdot 5 +5}{(2)^2 \cdot (1)^2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$
4. 最终结果：
   $y'(5) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{8}$