例24 int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}}

考查要点：本题主要考查三角替换法在积分中的应用，以及通过角度变换简化积分表达式的能力。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{1-x^2}$时，通常采用三角替换（令$x = \sin t$），将根号消去。本题的关键在于通过角度加减公式将分母转化为单一三角函数形式，从而简化积分。

破题关键点：

1. 三角替换：令$x = \sin t$，将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$。
2. 分子变形：将分子$\cos t$表示为$\sqrt{2}\cos(t+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})$，与分母$\sin t + \cos t$形成关联。
3. 变量替换：通过$u = t + \frac{\pi}{4}$，将积分转化为更简单的形式。

步骤1：三角替换

令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。原积分变为：
$\int \frac{\cos t}{\sin t + \cos t} \, dt$

步骤2：角度变形

将分母$\sin t + \cos t$用角度加减公式表示：
$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$
同时，分子$\cos t$可变形为：
$\cos t = \sqrt{2} \cos\left(t + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right)$

步骤3：变量替换

令$u = t + \frac{\pi}{4}$，则$du = dt$，积分变为：
$\int \frac{\sqrt{2} \cos(u - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{2} \sin u} \, du = \int \frac{\cos(u - \frac{\pi}{4})}{\sin u} \, du$

步骤4：拆分积分

利用余弦差公式展开分子：
$\cos(u - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin u + \cos u)$
代入后积分变为：
$\frac{1}{2} \int \frac{\sin u + \cos u}{\sin u} \, du = \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{\cos u}{\sin u}\right) \, du$

步骤5：积分求解

分别积分：
$\frac{1}{2} \left( \int 1 \, du + \int \frac{\cos u}{\sin u} \, du \right) = \frac{1}{2} \left( u + \ln |\sin u| \right) + C$

步骤6：回代变量

将$u = t + \frac{\pi}{4}$和$t = \arcsin x$代回，得到最终结果。