例6、计算二重积分iintlimits_(D)vert2x-yvert dxdy其中D=(x,y)mid-1le xle1,0le yle2

为了计算二重积分$\iint\limits_{D} |2x - y| \, dxdy$，其中$D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1, 0 \le y \le 2\}$，我们需要将区域$D$分为两部分，使得绝对值函数$ |2x - y| $在每个部分上可以被简化。绝对值函数在$2x - y = 0$的直线，即$y = 2x$处改变符号。 区域$D$可以被直线$y = 2x$分为两个区域： 1. $D_1 = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1, 0 \le y \le 2x\}$ 2. $D_2 = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1, 2x \le y \le 2\}$ 在$D_1$中，$2x - y \ge 0$，因此 $|2x - y| = 2x - y$。 在$D_2$中，$2x - y \le 0$，因此 $|2x - y| = -(2x - y) = y - 2x$。 因此，二重积分可以写为： \[ \iint\limits_{D} |2x - y| \, dxdy = \iint\limits_{D_1} (2x - y) \, dxdy + \iint\limits_{D_2} (y - 2x) \, dxdy \] 我们首先计算$\iint\limits_{D_1} (2x - y) \, dxdy$。区域$D_1$可以描述为： \[ D_1 = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1, 0 \le y \le 2x\} \] 对于 $x \in [-1, 0]$, $2x \le 0$, 所以 $D_1$ 不存在。对于 $x \in [0, 1]$, $0 \le 2x \le 2$, 所以 $D_1$ 为: \[ D_1 = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2x\} \] 因此，积分变为: \[ \iint\limits_{D_1} (2x - y) \, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} (2x - y) \, dy \, dx \] 我们先对 $y$ 积分: \[ \int_{0}^{2x} (2x - y) \, dy = \left[ 2xy - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2x} = 2x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} = 4x^2 - 2x^2 = 2x^2 \] 然后对 $x$ 积分: \[ \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \] 接下来，我们计算$\iint\limits_{D_2} (y - 2x) \, dxdy$。区域 $D_2$ 可以描述为: \[ D_2 = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1, 2x \le y \le 2\} \] 对于 $x \in [-1, 0]$, $2x \le 0$, 所以 $D_2$ 为: \[ D_2 = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, 2x \le y \le 0\} \cup \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, 0 \le y \le 2\} = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 0, 0 \le y \le 2\} \] 对于 $x \in [0, 1]$, $0 \le 2x \le 2$, 所以 $D_2$ 为: \[ D_2 = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 2x \le y \le 2\} \] 因此，积分变为: \[ \iint\limits_{D_2} (y - 2x) \, dxdy = \int_{-1}^{0} \int_{0}^{2} (y - 2x) \, dy \, dx + \int_{0}^{1} \int_{2x}^{2} (y - 2x) \, dy \, dx \] 我们先计算 $\int_{-1}^{0} \int_{0}^{2} (y - 2x) \, dy \, dx$: \[ \int_{0}^{2} (y - 2x) \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} - 2xy \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 2x \cdot 2 = 2 - 4x \] 然后对 $x$ 积分: \[ \int_{-1}^{0} (2 - 4x) \, dx = \left[ 2x - 2x^2 \right]_{-1}^{0} = (2 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2) - (2 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)^2) = 0 - (-2 - 2) = 4 \] 我们再计算 $\int_{0}^{1} \int_{2x}^{2} (y - 2x) \, dy \, dx$: \[ \int_{2x}^{2} (y - 2x) \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} - 2xy \right]_{2x}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} - 2x \cdot 2 \right) - \left( \frac{(2x)^2}{2} - 2x \cdot 2x \right) = (2 - 4x) - (2x^2 - 4x^2) = 2 - 4x + 2x^2 \] 然后对 $x$ 积分: \[ \int_{0}^{1} (2 - 4x + 2x^2) \, dx = \left[ 2x - 2x^2 + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 + \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 + \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) = 2 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \] 因此，$\iint\limits_{D_2} (y - 2x) \, dxdy = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$. 最后，将两个积分结果相加: \[ \iint\limits_{D} |2x - y| \, dxdy = \frac{2}{3} + \frac{14}{3} = \frac{16}{3} \] 答案是: \[ \boxed{\frac{16}{3}} \]