13、判断 若正项级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛，u_(n)>0，则必有lim_(ntoinfty)(u_(n+1))/(u_(n))=rho，且rhoA. ×B. √

本题考查正项级数收敛的判别法以及对级数收敛性质的理解。解题的关键在于明确正项级数收敛的不同判别方法，以及比值判别法的适用条件和局限性。

1. 回顾比值判别法

比值判别法（达朗贝尔判别法）：设正项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}=\rho$，则

• 当$\rho\lt1$时，级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛；
• 当$\rho\gt1$（包括$\rho = +\infty$）时，级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$发散；
• 当$\rho = 1$时，比值判别法失效，需用其他方法判断级数的敛散性。

2. 分析题目

题目中说正项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，就必有$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}=\rho$且$\rho\lt1$。但实际上，存在一些正项级数收敛，然而$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$不存在或者$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 1$的情况。

3. 举例说明

考虑$p -$级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$，当$p\gt1$时，$p -$级数收敛。
对于$p = 2$的情况，$u_{n}=\frac{1}{n^{2}}$，计算$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$：
$\begin{align*}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{(n + 1)^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n + 1}\\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\\&= 1\end{align*}$
这表明存在正项级数收敛，但$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 1$，并非$\rho\lt1$，所以题目说法错误。