5 计算iiint(dxdydz)/((1+x+y+z)^3)，其中Q为平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=1所围成的四面体.

考查要点：本题主要考查三重积分的计算方法，特别是对积分顺序的合理选择以及分部积分的应用。关键在于正确描述积分区域，并通过逐次积分简化计算。

解题思路：

1. 确定积分区域：四面体Q由x=0、y=0、z=0和x+y+z=1围成，可表示为$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1-x$，$0 \leq z \leq 1-x-y$。
2. 选择积分顺序：采用先对$z$积分，再对$y$，最后对$x$的顺序，简化分母表达式。
3. 逐次积分：对每个变量积分时，注意代数运算的准确性，尤其是分式积分和对数积分的处理。

破题关键：通过变量替换简化积分表达式，如对$z$积分时令$u=1+x+y+z$，对$y$积分时令$u=1+x+y$，逐步降低积分复杂度。

积分区域描述

四面体$Q$的积分限为：

• $x$从$0$到$1$，
• 对固定的$x$，$y$从$0$到$1-x$，
• 对固定的$x,y$，$z$从$0$到$1-x-y$。

对$z$积分

积分式为：
$\int_{0}^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^3} \, dz$
令$u = 1+x+y+z$，则$du = dz$，积分变为：
$\int_{1+x+y}^{2} \frac{1}{u^3} \, du = \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1+x+y}^{2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2(1+x+y)^2}$

对$y$积分

积分式为：
$\int_{0}^{1-x} \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{2(1+x+y)^2} \right) dy$
分项积分：

1. 第一项：
   $-\frac{1}{8} \int_{0}^{1-x} dy = -\frac{1}{8}(1-x)$
2. 第二项：
   令$u = 1+x+y$，则积分变为：
   $\frac{1}{2} \int_{1+x}^{2} \frac{1}{u^2} \, du = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1+x}^{2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+x} \right) = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{1}{4}$
   合并结果：
   $-\frac{1-x}{8} + \frac{1}{2(1+x)} - \frac{1}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2(1+x)} - \frac{3}{8}$

对$x$积分

积分式为：
$\int_{0}^{1} \left( \frac{x}{8} + \frac{1}{2(1+x)} - \frac{3}{8} \right) dx$
分项积分：

1. 第一项：
   $\frac{1}{8} \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$
2. 第二项：
   $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x) \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 2$
3. 第三项：
   $-\frac{3}{8} \int_{0}^{1} dx = -\frac{3}{8}$
   合并结果：
   $\frac{1}{16} + \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{5}{16} = \frac{1}{2} \left( \ln 2 - \frac{5}{8} \right)$