7、设随机变量X在区间（1，2）内服从均匀分布，试求随机变量Y=e^2X的密度函数。【建议练习用分布函数法、公式法两种方法解答】

设随机变量 $X$ 在区间 $(1, 2)$ 上服从均匀分布，其密度函数为： \[ f_X(x) = \begin{cases} 1 & \text{若 } 1 < x < 2, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases} \] 令 $Y = e^{2X}$，则 $Y$ 的取值范围为 $(e^2, e^4)$。 **方法一：分布函数法** 1. 求 $F_Y(y) = P(Y \leq y)$： - 当 $y \leq e^2$ 时，$F_Y(y) = 0$； - 当 $y \geq e^4$ 时，$F_Y(y) = 1$； - 当 $e^2 < y < e^4$ 时，$F_Y(y) = P(X \leq \frac{\ln y}{2}) = \frac{\ln y}{2} - 1$。 2. 求导得密度函数： \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2y} & \text{若 } e^2 < y < e^4, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases} \] **方法二：公式法** 1. 求反函数 $x = \frac{\ln y}{2}$，导数为 $\frac{1}{2y}$。 2. 应用公式 $f_Y(y) = f_X\left(\frac{\ln y}{2}\right) \left| \frac{1}{2y} \right|$： \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2y} & \text{若 } e^2 < y < e^4, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases} \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{cases} \frac{1}{2y} & \text{若 } e^2 < y < e^4, \\ 0 & \text{其他}. \end{cases} } \]