题目
[题目]设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中-|||-不正确的是 ()-|||-A. ((A+B))^T=(A)^T+(B)^T-|||-B. ((A+B))^-1=(A)^-1+(B)^-1-|||-C. ((AB))^-1=(B)^-1(A)^-1-|||-D. ((AB))^T=(B)^T(A)^T
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证选项A
根据矩阵转置的性质，两个矩阵相加的转置等于两个矩阵转置的相加，即 ${(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$ ，故A正确。
步骤 2：验证选项B
考虑特殊情况，如 $A=B={E}_{n}$ （单位矩阵），则 ${(A+B)}^{-1}=\dfrac {1}{2}{E}_{n}$ ，但是 ${A}^{-1}+{B}^{-1}=2{E}_{n}$ ，故B不正确。
步骤 3：验证选项C
根据矩阵乘法的逆矩阵性质，两个矩阵相乘的逆等于后面一个的逆乘以前面一个的逆，即 ${(AB)}^{-1}={B}^{-1}{A}^{-1}$ ，故C正确。
步骤 4：验证选项D
根据矩阵乘法的转置性质，两个矩阵相乘的转置等于后面一个的转置乘以前面一个的转置，即 ${(AB)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$ ，故D正确。
根据矩阵转置的性质，两个矩阵相加的转置等于两个矩阵转置的相加，即 ${(A+B)}^{T}={A}^{T}+{B}^{T}$ ，故A正确。
步骤 2：验证选项B
考虑特殊情况，如 $A=B={E}_{n}$ （单位矩阵），则 ${(A+B)}^{-1}=\dfrac {1}{2}{E}_{n}$ ，但是 ${A}^{-1}+{B}^{-1}=2{E}_{n}$ ，故B不正确。
步骤 3：验证选项C
根据矩阵乘法的逆矩阵性质，两个矩阵相乘的逆等于后面一个的逆乘以前面一个的逆，即 ${(AB)}^{-1}={B}^{-1}{A}^{-1}$ ，故C正确。
步骤 4：验证选项D
根据矩阵乘法的转置性质，两个矩阵相乘的转置等于后面一个的转置乘以前面一个的转置，即 ${(AB)}^{T}={B}^{T}{A}^{T}$ ，故D正确。