题目
函数 z=x+2y 在约束条件 ^2+(y)^2=5 下的最大值为 ()
题目解答
答案
5
解析
步骤 1：引入拉格朗日乘数法
为了在约束条件下找到函数的最大值，我们引入拉格朗日乘数法。设拉格朗日函数为 $L(x, y, \lambda) = x + 2y + \lambda (5 - x^2 - y^2)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 2：求偏导数并设置为零
对 $L$ 关于 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并设置为零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2 - 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 5 - x^2 - y^2 = 0
\end{cases}
$$
步骤 3：解方程组
从第一个方程得到 $\lambda = \frac{1}{2x}$，从第二个方程得到 $\lambda = \frac{1}{y}$。因此，$\frac{1}{2x} = \frac{1}{y}$，即 $y = 2x$。将 $y = 2x$ 代入约束条件 $x^2 + y^2 = 5$，得到 $x^2 + (2x)^2 = 5$，即 $5x^2 = 5$，从而 $x^2 = 1$，得到 $x = \pm 1$。因此，$y = \pm 2$。所以，可能的极值点为 $(1, 2)$ 和 $(-1, -2)$。
步骤 4：计算函数值
将极值点代入原函数 $z = x + 2y$，得到 $z(1, 2) = 1 + 2 \cdot 2 = 5$ 和 $z(-1, -2) = -1 + 2 \cdot (-2) = -5$。因此，函数的最大值为 $5$。
为了在约束条件下找到函数的最大值，我们引入拉格朗日乘数法。设拉格朗日函数为 $L(x, y, \lambda) = x + 2y + \lambda (5 - x^2 - y^2)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 2：求偏导数并设置为零
对 $L$ 关于 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并设置为零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2 - 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 5 - x^2 - y^2 = 0
\end{cases}
$$
步骤 3：解方程组
从第一个方程得到 $\lambda = \frac{1}{2x}$，从第二个方程得到 $\lambda = \frac{1}{y}$。因此，$\frac{1}{2x} = \frac{1}{y}$，即 $y = 2x$。将 $y = 2x$ 代入约束条件 $x^2 + y^2 = 5$，得到 $x^2 + (2x)^2 = 5$，即 $5x^2 = 5$，从而 $x^2 = 1$，得到 $x = \pm 1$。因此，$y = \pm 2$。所以，可能的极值点为 $(1, 2)$ 和 $(-1, -2)$。
步骤 4：计算函数值
将极值点代入原函数 $z = x + 2y$，得到 $z(1, 2) = 1 + 2 \cdot 2 = 5$ 和 $z(-1, -2) = -1 + 2 \cdot (-2) = -5$。因此，函数的最大值为 $5$。