题目
设函数 y = y(x) 是微分方程 y'' + y' - 2y = 0 的解，且在 x = 0 处 y(x) 取得极值 3，则 y(x)= ()。A. 2e^x + e^-2xB. e^-x + 2e^2xC. e^x + 2e^-2xD. 2e^-x + e^2x
设函数 $y = y(x)$ 是微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的解，且在 $x = 0$ 处 $y(x)$ 取得极值 3，则 $y(x)= ()$。
A. $2e^x + e^{-2x}$
B. $e^{-x} + 2e^{2x}$
C. $e^x + 2e^{-2x}$
D. $2e^{-x} + e^{2x}$
题目解答
答案
A. $2e^x + e^{-2x}$
解析
步骤 1：求解微分方程的通解
微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + r - 2 = 0$。解这个二次方程，得到特征根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$。因此，微分方程的通解为 $y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 2：应用极值条件
题目中给出 $y(x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值 3，即 $y(0) = 3$。将 $x = 0$ 代入通解中，得到 $C_1 + C_2 = 3$。此外，由于 $y(x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，其一阶导数 $y'(x)$ 在 $x = 0$ 处为 0，即 $y'(0) = 0$。计算 $y'(x)$ 并代入 $x = 0$，得到 $-2C_1 + C_2 = 0$。
步骤 3：求解常数 $C_1$ 和 $C_2$
联立 $C_1 + C_2 = 3$ 和 $-2C_1 + C_2 = 0$，解得 $C_1 = 1$ 和 $C_2 = 2$。因此，特解为 $y(x) = e^{-2x} + 2e^x$。
微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + r - 2 = 0$。解这个二次方程，得到特征根 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = 1$。因此，微分方程的通解为 $y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^x$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 2：应用极值条件
题目中给出 $y(x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值 3，即 $y(0) = 3$。将 $x = 0$ 代入通解中，得到 $C_1 + C_2 = 3$。此外，由于 $y(x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，其一阶导数 $y'(x)$ 在 $x = 0$ 处为 0，即 $y'(0) = 0$。计算 $y'(x)$ 并代入 $x = 0$，得到 $-2C_1 + C_2 = 0$。
步骤 3：求解常数 $C_1$ 和 $C_2$
联立 $C_1 + C_2 = 3$ 和 $-2C_1 + C_2 = 0$，解得 $C_1 = 1$ 和 $C_2 = 2$。因此，特解为 $y(x) = e^{-2x} + 2e^x$。